Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
. \int \frac{\sqrt{x}+ \sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}+ \sqrt[6]{x}} dx
Ответ:
Ответ: Вычисляем неопределенный интеграл.
Краткое пояснение: Упрощаем выражение под интегралом и вычисляем интеграл.
Решение:
- Замена переменных: Пусть \(x = t^6\), тогда \(dx = 6t^5 dt\).
- Преобразуем интеграл: \[\int \frac{\sqrt{x}+ \sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}+ \sqrt[6]{x}} dx = \int \frac{t^3 + t^2}{t^3 + t} 6t^5 dt = 6 \int \frac{t^2(t+1)}{t(t^2+1)} t^5 dt = 6 \int \frac{t(t+1)}{t^2+1} t^5 dt = 6 \int \frac{t^6(t+1)}{t^2+1} dt\]
- Разделим \(t^7 + t^6\) на \(t^2 + 1\) столбиком, чтобы получить частное и остаток. В результате деления получим: \(t^7 + t^6 = (t^2 + 1)(t^5 + t^4 - t^3 - t^2 + t + 1) - t - 1\)
- Теперь интеграл можно переписать как: \[6 \int \frac{(t^2+1)(t^5 + t^4 - t^3 - t^2 + t + 1) - t - 1}{t^2+1} dt = 6 \int (t^5 + t^4 - t^3 - t^2 + t + 1 - \frac{t+1}{t^2+1}) dt\]
- Интегрируем по частям: \[6 \int (t^5 + t^4 - t^3 - t^2 + t + 1 - \frac{t+1}{t^2+1}) dt = 6 (\int t^5 dt + \int t^4 dt - \int t^3 dt - \int t^2 dt + \int t dt + \int dt - \int \frac{t}{t^2+1} dt - \int \frac{1}{t^2+1} dt)\]
- Вычислим каждый интеграл: \[6 (\frac{t^6}{6} + \frac{t^5}{5} - \frac{t^4}{4} - \frac{t^3}{3} + \frac{t^2}{2} + t - \frac{1}{2} \ln(t^2+1) - \arctan(t)) + C\]
- Подставим \(t = \sqrt[6]{x}\): \[\sqrt{x^6} + \frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}} - \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} - 2x^{\frac{1}{2}} + 3x^{\frac{1}{3}} + 6x^{\frac{1}{6}} - 3 \ln(x^{\frac{1}{3}}+1) - 6 \arctan(x^{\frac{1}{6}}) + C\]
Ответ: \(\sqrt{x^6} + \frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}} - \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} - 2x^{\frac{1}{2}} + 3x^{\frac{1}{3}} + 6x^{\frac{1}{6}} - 3 \ln(x^{\frac{1}{3}}+1) - 6 \arctan(x^{\frac{1}{6}}) + C\)
Математический Гений: Уровень интеллекта: +50
Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс
Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей
