1.5 \int \frac{\sqrt[4]{x}-2x+5}{x^2} dx

Предварительный анализ

• Предмет: Математика
• Класс: 10-11 класс

Решение

Давай разберем интеграл по частям. Сначала преобразуем интеграл, чтобы было удобнее его решать:

\[\int \frac{\sqrt[4]{x}-2x+5}{x^2} dx = \int (x^{-2} \cdot x^{\frac{1}{4}} - 2x^{-1} + 5x^{-2}) dx\]

Теперь интегрируем каждый член по отдельности:

\[\int x^{-2} \cdot x^{\frac{1}{4}} dx = \int x^{-\frac{7}{4}} dx = \frac{x^{-\frac{3}{4}}}{-\frac{3}{4}} + C_1 = -\frac{4}{3}x^{-\frac{3}{4}} + C_1\] \[\int -2x^{-1} dx = -2 \int \frac{1}{x} dx = -2 \ln|x| + C_2\] \[\int 5x^{-2} dx = 5 \int x^{-2} dx = 5 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C_3 = -5x^{-1} + C_3\]

Теперь сложим все результаты вместе:

\[-\frac{4}{3}x^{-\frac{3}{4}} - 2 \ln|x| - 5x^{-1} + C\]

Или, если переписать в более привычном виде:

\[-\frac{4}{3\sqrt[4]{x^3}} - 2 \ln|x| - \frac{5}{x} + C\]

Ответ: -\\[\frac{4}{3\sqrt[4]{x^3}} - 2 \ln|x| - \frac{5}{x} + C\\]

Ты отлично справился с задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!