$$\frac{(x-5)^3(x+3)}{x^2-x-20} \le 0.$$

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Смотри, тут всё просто: нужно решить неравенство методом интервалов.

Краткое пояснение: Сначала найдём нули числителя и знаменателя, а затем определим знаки выражения на каждом интервале.

Шаг 1: Разложим знаменатель на множители:
$ x^2 - x - 20 = (x-5)(x+4) $
Шаг 2: Перепишем неравенство:
$ \frac{(x-5)^3(x+3)}{(x-5)(x+4)} \le 0 $
Сократим дробь на $ (x-5) $:
$ \frac{(x-5)^2(x+3)}{(x+4)} \le 0 $, при условии $ x
eq 5 $.
Шаг 3: Найдём нули числителя:
$ (x-5)^2 = 0 $ $ \Rightarrow $ $ x = 5 $
$ x+3 = 0 $ $ \Rightarrow $ $ x = -3 $
Шаг 4: Найдём нули знаменателя:
$ x+4 = 0 $ $ \Rightarrow $ $ x = -4 $
Шаг 5: Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах.

На интервале $ (-\infty, -4) $ функция отрицательна.

На интервале $ (-4, -3) $ функция положительна.

В точке $ x = -3 $ функция равна нулю.

На интервале $ (-3, 5) $ функция положительна.

В точке $ x = 5 $ функция равна нулю.

На интервале $ (5, +\infty) $ функция положительна.

Так как нам нужно $ f(x) \le 0 $, выбираем интервал $ (-\infty, -4) $ и точку $ x = -3 $.

Ответ: $ x \in (-\infty, -4) \cup \{-3\} $