\frac{x^2 + x}{(x - 7)(x + 7)} > 0

Для решения неравенства $$\frac{x^2 + x}{(x - 7)(x + 7)} > 0$$ необходимо определить, когда данная дробь больше нуля.

Сначала разложим числитель и знаменатель на множители:

$$\frac{x(x + 1)}{(x - 7)(x + 7)} > 0$$

Теперь найдем нули числителя и знаменателя:

Числитель: $$x(x + 1) = 0$$. Это происходит при $$x = 0$$ и $$x = -1$$.

Знаменатель: $$(x - 7)(x + 7) = 0$$. Это происходит при $$x = 7$$ и $$x = -7$$.

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения на каждом интервале:

     +       -        +        -        +
----(-7)----(-1)----(0)-----(7)-----

Неравенство $$\frac{x(x + 1)}{(x - 7)(x + 7)} > 0$$ выполняется, когда выражение положительно. Из числовой прямой видно, что это происходит на интервалах:

• $$x < -7$$
• $$-1 < x < 0$$
• $$x > 7$$

Запишем решение в виде объединения интервалов:

$$x \in (-\infty, -7) \cup (-1, 0) \cup (7, +\infty)$$

Ответ: $$x \in (-\infty, -7) \cup (-1, 0) \cup (7, +\infty)$$