\frac{3x^2 - 12x + 12}{x + 3} \le 0

Шаг 1: Упростим неравенство

Сначала упростим числитель, вынесем общий множитель 3:

\[\frac{3(x^2 - 4x + 4)}{x + 3} \le 0\]

Заметим, что в скобках квадрат разности:

\[\frac{3(x - 2)^2}{x + 3} \le 0\]

Шаг 2: Найдем нули числителя и знаменателя

• Числитель: \(3(x - 2)^2 = 0\), откуда \(x = 2\)
• Знаменатель: \(x + 3 = 0\), откуда \(x = -3\)

Шаг 3: Метод интервалов

Отметим точки \(-3\) и \(2\) на числовой прямой. Точка \(-3\) не входит в решение (знаменатель не может быть равен нулю), а точка \(2\) входит (неравенство нестрогое).

Рассмотрим интервалы:

• \(x < -3\): Выберем \(x = -4\). Тогда \(\frac{3(-4 - 2)^2}{-4 + 3} = \frac{3(36)}{-1} = -108 \le 0\). Неравенство выполняется.
• \(-3 < x < 2\): Выберем \(x = 0\). Тогда \(\frac{3(0 - 2)^2}{0 + 3} = \frac{3(4)}{3} = 4
  leq 0\). Неравенство не выполняется.
• \(x > 2\): Выберем \(x = 3\). Тогда \(\frac{3(3 - 2)^2}{3 + 3} = \frac{3(1)}{6} = \frac{1}{2}
  leq 0\). Неравенство не выполняется.

Шаг 4: Учет точки x = 2

При \(x = 2\) числитель равен нулю, следовательно, \(\frac{3(2 - 2)^2}{2 + 3} = 0 \le 0\). Точка \(x = 2\) является решением.

Шаг 5: Запишем решение

Решением является интервал \(x < -3\) и точка \(x = 2\).

В итоге, \(x \in (-\infty, -3) \cup \{2\}\)

Так как требуется найти, когда выражение меньше или равно нулю, и учитывая, что \((x-2)^2\) всегда неотрицательно, то решением будет, когда \(x+3 < 0\) или \(x=2\). Значит, \(x < -3\) или \(x=2\).