\frac{x^3 - 8}{x^2 + 5x - 6} > 0

Решение:

Разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель:

\[x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)\]

Знаменатель:

\[x^2 + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1)\]

Исходное неравенство принимает вид:

\[\frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{(x + 6)(x - 1)} > 0\]

Заметим, что выражение \(x^2 + 2x + 4\) всегда положительно, так как его дискриминант отрицателен \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0\).

Тогда неравенство можно упростить:

\[\frac{x - 2}{(x + 6)(x - 1)} > 0\]

Нули числителя: \(x = 2\)

Нули знаменателя: \(x = -6, x = 1\)

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки функции на каждом интервале:

        -6      1      2
----o-------o-------o---->
     -    +    -    +

Решением неравенства являются интервалы, где функция положительна:

\[x \in (-6; 1) \cup (2; +\infty)\]

Ответ: \(x \in (-6; 1) \cup (2; +\infty)\)

Проверка за 10 секунд: Подставьте значения из каждого интервала в исходное неравенство, чтобы убедиться, что решение верно.

Читерский прием: Если квадратный трехчлен имеет отрицательный дискриминант, то он всегда имеет один и тот же знак, который совпадает со знаком коэффициента при \(x^2\).