Решение:

1. Преобразуем смешанные дроби в неправильные: $$3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$$ $$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$$ $$5\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{35}{6}$$ $$4\frac{3}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{23}{5}$$
2. Подставим полученные значения в выражение: $$(\frac{7}{2} - \frac{8}{3} + \frac{35}{6} + \frac{23}{5}) \cdot 24$$
3. Найдем общий знаменатель для дробей: 2, 3, 6, 5. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен 30.
4. Приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{7}{2} = \frac{7 \cdot 15}{2 \cdot 15} = \frac{105}{30}$$ $$\frac{8}{3} = \frac{8 \cdot 10}{3 \cdot 10} = \frac{80}{30}$$ $$\frac{35}{6} = \frac{35 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{175}{30}$$ $$\frac{23}{5} = \frac{23 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{138}{30}$$
5. Выполним действия в скобках: $$(\frac{105}{30} - \frac{80}{30} + \frac{175}{30} + \frac{138}{30}) = \frac{105 - 80 + 175 + 138}{30} = \frac{338}{30}$$
6. Умножим полученную дробь на 24: $$\frac{338}{30} \cdot 24 = \frac{338 \cdot 24}{30} = \frac{8112}{30}$$
7. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 6: $$\frac{8112}{30} = \frac{1352}{5}$$
8. Преобразуем неправильную дробь в смешанную: $$\frac{1352}{5} = 270\frac{2}{5}$$

Ответ: $$270\frac{2}{5}$$