$$\frac{2}{3} \cdot \frac{6}{7}: 4 + \frac{5}{14}$$

Выполним действия по порядку.

1. Умножение дробей:

$$\frac{2}{3} \cdot \frac{6}{7} = \frac{2 \cdot 6}{3 \cdot 7} = \frac{12}{21}$$

2. Деление дроби на число:

$$\frac{12}{21} : 4 = \frac{12}{21} \cdot \frac{1}{4} = \frac{12}{21 \cdot 4} = \frac{12}{84}$$

Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 12:

$$\frac{12}{84} = \frac{1}{7}$$

3. Сложение дробей:

$$\frac{1}{7} + \frac{5}{14}$$

Приведем дроби к общему знаменателю 14: $$\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{2}{14}$$

$$\frac{2}{14} + \frac{5}{14} = \frac{2 + 5}{14} = \frac{7}{14}$$

Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 7:

$$\frac{7}{14} = \frac{1}{2}$$

Ответ: $$\frac{1}{2}$$