\frac{(3^{x}-5)(log_{5}x+1)}{2^{x}-1} \le 0

Решим неравенство методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя.

2. Числитель:

$$3^{x}-5=0$$

$$3^{x}=5$$

$$x = log_{3}5$$

$$log_{5}x+1 = 0$$

$$log_{5}x = -1$$

$$x = 5^{-1} = \frac{1}{5}$$

3. Знаменатель:

$$2^{x}-1=0$$

$$2^{x}=1$$

$$x=0$$

4. Область определения логарифма: $$x > 0$$.

5. Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах.

        +              -               +
-----------------------------------------------------
        0      1/5       log_3(5)

6. Решением неравенства является интервал, где функция отрицательна, включая нули числителя.

$$x \in (0; \frac{1}{5}] \cup [log_{3}5; +\infty)$$

Ответ: $$(0; \frac{1}{5}] \cup [log_{3}5; +\infty)$$