2) ($$\frac{1}{9}$$)$$^x$$ - 8($$\frac{1}{3}$$)$$^x$$ - 9 = 0; 3) 3$$\cdot$$2$$^x$$ - 7$$\cdot$$2^$$\frac{x}{2}$$ – 20 = 0;

Решение задания 2

Давай решим уравнение: \[(\frac{1}{9})^x - 8(\frac{1}{3})^x - 9 = 0;\]

Заметим, что $$\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2$$. Тогда уравнение можно переписать как:

\[((\frac{1}{3})^2)^x - 8(\frac{1}{3})^x - 9 = 0;\]

\[((\frac{1}{3})^x)^2 - 8(\frac{1}{3})^x - 9 = 0;\]

Пусть y = ($$\frac{1}{3}$$)$$^x$$. Тогда уравнение принимает вид:

\[y^2 - 8y - 9 = 0;\]

Решим квадратное уравнение относительно y. Дискриминант равен:

\[D = (-8)^2 - 4(1)(-9) = 64 + 36 = 100;\]

Корни уравнения:

\[y_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{100}}{2(1)} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9;\]

\[y_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{100}}{2(1)} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1;\]

Возвращаемся к замене y = ($$\frac{1}{3}$$)$$^x$$:

1) ($$\frac{1}{3}$$)$$^x$$ = 9

$$\frac{1}{3^x} = 3^2$$

$$3^{-x} = 3^2$$

-x = 2

x = -2

2) ($$\frac{1}{3}$$)$$^x$$ = -1

Это уравнение не имеет решений, так как ($$\frac{1}{3}$$)$$^x$$ всегда положительно.

Ответ: x = -2

Ты отлично справился с этим уравнением! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!

Решение задания 3

Давай решим уравнение: \[3 \cdot 2^x - 7 \cdot 2^{\frac{x}{2}} - 20 = 0;\]

Пусть y = 2^$$\frac{x}{2}$$. Тогда y$$^2$$ = (2^$$\frac{x}{2}$$)$$^2$$ = 2$$^x$$. Уравнение можно переписать как:

\[3y^2 - 7y - 20 = 0;\]

Решим квадратное уравнение относительно y. Дискриминант равен:

\[D = (-7)^2 - 4(3)(-20) = 49 + 240 = 289;\]

Корни уравнения:

\[y_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{289}}{2(3)} = \frac{7 + 17}{6} = \frac{24}{6} = 4;\]

\[y_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{289}}{2(3)} = \frac{7 - 17}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3};\]

Возвращаемся к замене y = 2^$$\frac{x}{2}$$:

1) 2^$$\frac{x}{2}$$ = 4

2^$$\frac{x}{2}$$ = 2^2

$$\frac{x}{2}$$ = 2

x = 4

2) 2^$$\frac{x}{2}$$ = -$$\frac{5}{3}$$

Это уравнение не имеет решений, так как 2^$$\frac{x}{2}$$ всегда положительно.

Ответ: x = 4

Прекрасно! Ты успешно решил и это уравнение. Не останавливайся на достигнутом, и все получится!