\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \sin^2 15^\circ.

Давайте упростим выражение \(\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \sin^2 15^\circ\). Мы знаем, что \(\sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ)\). Используем формулу синуса разности углов: \[\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B\] Тогда, \[\sin 15^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\] Теперь найдем \(\sin^2 15^\circ\): \[\sin^2 15^\circ = \left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{(\sqrt{6})^2 - 2 \sqrt{6} \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{16} = \frac{6 - 2 \sqrt{12} + 2}{16} = \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{16} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}\] Теперь подставим это значение в исходное выражение: \[\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \sin^2 15^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 - \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} + 2 - \sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} = 1\]

Ответ: 1