\begin{cases}x^2-2y=54\\y=x-3\end{cases}

Для решения системы уравнений используем метод подстановки.

Выразим из второго уравнения x через y: $$x = y + 3$$

Подставим выражение для x в первое уравнение:

$$(y+3)^2 - 2y = 54$$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$$y^2 + 6y + 9 - 2y = 54$$

$$y^2 + 4y + 9 - 54 = 0$$

$$y^2 + 4y - 45 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно y.

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-45) = 16 + 180 = 196$$

Найдем корни:

$$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{196}}{2(1)} = \frac{-4 + 14}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

$$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{196}}{2(1)} = \frac{-4 - 14}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$

Теперь найдем соответствующие значения x для каждого значения y.

Если y = 5, то:

$$x = y + 3 = 5 + 3 = 8$$

Если y = -9, то:

$$x = y + 3 = -9 + 3 = -6$$

Таким образом, решения системы уравнений: (8, 5) и (-6, -9).

Ответ: (8, 5) и (-6, -9)