\(\left(a-5+\frac{15}{a+5}\right):\frac{a^{2}-10}{a^{2}+10 a+25}\)

Преобразуем выражение.

1. Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$$\begin{aligned} a-5+\frac{15}{a+5} &= \frac{(a-5)(a+5)}{a+5} + \frac{15}{a+5} = \frac{a^2 - 25 + 15}{a+5} = \frac{a^2 - 10}{a+5} \end{aligned}$$

2. Разделим первую дробь на вторую, заменив деление умножением на обратную дробь:

$$\begin{aligned} \frac{a^2 - 10}{a+5} : \frac{a^2 - 10}{a^2 + 10a + 25} = \frac{a^2 - 10}{a+5} \cdot \frac{a^2 + 10a + 25}{a^2 - 10} \end{aligned}$$

3. Разложим квадратный трехчлен в числителе второй дроби на множители. Заметим, что это полный квадрат:

$$a^2 + 10a + 25 = (a+5)^2$$

4. Подставим полученное выражение в исходное:

$$\begin{aligned} \frac{a^2 - 10}{a+5} \cdot \frac{(a+5)^2}{a^2 - 10} = \frac{(a^2 - 10)(a+5)^2}{(a+5)(a^2 - 10)} \end{aligned}$$

5. Сократим дробь:

$$\frac{(a^2 - 10)(a+5)^2}{(a+5)(a^2 - 10)} = a+5$$

Ответ: a+5