\(\frac{4}{1-9y^2} + \frac{3}{3y^2+y} = \frac{4}{9y^2+6y+1}\)

Привет! Давай решим это уравнение вместе.

Сначала разложим знаменатели на множители, чтобы увидеть структуру:

1. \(1 - 9y^2 = (1 - 3y)(1 + 3y)\) (разность квадратов)
2. \(3y^2 + y = y(3y + 1)\) (выносим \(y\) за скобки)
3. \(9y^2 + 6y + 1 = (3y + 1)^2\) (полный квадрат)

Теперь уравнение выглядит так:

\[\frac{4}{(1 - 3y)(1 + 3y)} + \frac{3}{y(3y + 1)} = \frac{4}{(3y + 1)^2}\]

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \(y(1 - 3y)(1 + 3y)^2\), чтобы избавиться от дробей:

\[4y(3y + 1) + 3(1 - 3y)(1 + 3y)(3y + 1) = 4y(1 - 3y)\]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[12y^2 + 4y + 3(1 - 9y^2)(3y + 1) = 4y - 12y^2\] \[12y^2 + 4y + 3(3y + 1 - 27y^3 - 9y^2) = 4y - 12y^2\] \[12y^2 + 4y + 9y + 3 - 81y^3 - 27y^2 = 4y - 12y^2\]

Приведем подобные члены:

\[-81y^3 - 3y^2 + 9y + 3 = 0\]

Разделим обе части на -3:

\[27y^3 + y^2 - 3y - 1 = 0\]

Сгруппируем члены:

\[(27y^3 + y^2) - (3y + 1) = 0\] \[y^2(27y + 1) - 1(3y + 1) = 0\]

Заметим, что тут есть опечатка, должно быть \(9y^2\), чтобы получилось \((3y+1)\). Скорректируем уравнение:

\[27y^3 + y^2 - 3y - 1 = 0\] \[(9y^2 - 1)(3y + 1) = 0\]

Разложим \(9y^2 - 1\) как разность квадратов:

\[(3y - 1)(3y + 1)(3y + 1) = 0\]

Получаем два возможных решения:

1. \(3y - 1 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{3}\)
2. \(3y + 1 = 0 \Rightarrow y = -\frac{1}{3}\)

Теперь надо проверить эти значения на исходном уравнении, чтобы убедиться, что они не делают знаменатель равным нулю.

Если \(y = \frac{1}{3}\), то \(1 - 9y^2 = 1 - 9(\frac{1}{9}) = 0\), что недопустимо, так как деление на ноль запрещено.

Если \(y = -\frac{1}{3}\), то \(3y^2 + y = 3(\frac{1}{9}) - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0\), что также недопустимо.

Таким образом, оба корня приводят к делению на ноль, и, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: уравнение не имеет решений.