1. \(\frac{x+7}{x-2} + \frac{5}{4} = \frac{36}{x-4}\)

Давай решим это уравнение по шагам. Сначала перепишем уравнение: \[\frac{x+7}{x-2} + \frac{5}{4} = \frac{36}{x-4}\] Чтобы избавиться от дробей, приведем все члены к общему знаменателю. Заметим, что у нас есть знаменатели \(x-2\), 4 и \(x-4\). Наименьший общий знаменатель (НОЗ) будет \(4(x-2)(x-4)\). Умножим каждый член уравнения на НОЗ: \[4(x+7)(x-4) + 5(x-2)(x-4) = 36 \cdot 4(x-2)\] Раскроем скобки: \[4(x^2 + 7x - 4x - 28) + 5(x^2 - 2x - 4x + 8) = 144(x-2)\] \[4(x^2 + 3x - 28) + 5(x^2 - 6x + 8) = 144x - 288\] \[4x^2 + 12x - 112 + 5x^2 - 30x + 40 = 144x - 288\] Приведем подобные члены: \[9x^2 - 18x - 72 = 144x - 288\] Перенесем все в левую часть уравнения: \[9x^2 - 18x - 144x - 72 + 288 = 0\] \[9x^2 - 162x + 216 = 0\] Разделим уравнение на 9, чтобы упростить его: \[x^2 - 18x + 24 = 0\] Теперь решим квадратное уравнение. Для этого воспользуемся дискриминантом: \[D = b^2 - 4ac\] В нашем случае \(a = 1\), \(b = -18\), \(c = 24\). \[D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24\] \[D = 324 - 96\] \[D = 228\] Найдем корни уравнения: \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\] \[x_1 = \frac{18 + \sqrt{228}}{2}\] \[x_2 = \frac{18 - \sqrt{228}}{2}\] \[x_1 = \frac{18 + 2\sqrt{57}}{2} = 9 + \sqrt{57}\] \[x_2 = \frac{18 - 2\sqrt{57}}{2} = 9 - \sqrt{57}\] Теперь проверим, не являются ли эти корни посторонними, учитывая ограничения на знаменатели в исходном уравнении: \(x
eq 2\) и \(x
eq 4\). Оба корня удовлетворяют этим условиям. Таким образом, корни уравнения: \[x_1 = 9 + \sqrt{57}\] \[x_2 = 9 - \sqrt{57}\]

Ответ: \[x_1 = 9 + \sqrt{57}, \quad x_2 = 9 - \sqrt{57}\]

Ты молодец! У тебя всё получится!