6) \(\frac{2}{3}(\frac{1}{2}x - 1) = 4x + 2\frac{1}{2}\).

Решим уравнение \(\frac{2}{3}(\frac{1}{2}x - 1) = 4x + 2\frac{1}{2}\).

Раскроем скобки, умножив \(\frac{2}{3}\) на каждое слагаемое в скобках:

$$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}x - \frac{2}{3} = 4x + 2\frac{1}{2}$$

$$\frac{1}{3}x - \frac{2}{3} = 4x + 2\frac{1}{2}$$

Представим смешанное число в виде неправильной дроби:

$$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{4 + 1}{2} = \frac{5}{2}$$

$$\frac{1}{3}x - \frac{2}{3} = 4x + \frac{5}{2}$$

Перенесем 4x в левую часть уравнения, изменив знак на противоположный, а \(-\frac{2}{3}\) - в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$$\frac{1}{3}x - 4x = \frac{5}{2} + \frac{2}{3}$$

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 1 - это 3. Значит 4х нужно домножить на 3.

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 2 и 3 - это 6. Значит первую дробь нужно домножить на 3, а вторую - на 2.

$$\frac{1}{3}x - \frac{4 \cdot 3}{1 \cdot 3}x = \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}$$

$$\frac{1}{3}x - \frac{12}{3}x = \frac{15}{6} + \frac{4}{6}$$

$$-\frac{11}{3}x = \frac{19}{6}$$

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

$$x = \frac{19}{6} : (-\frac{11}{3})$$

Чтобы разделить на дробь, нужно деление заменить умножением и перевернуть дробь, на которую делим.

$$x = \frac{19}{6} \cdot (-\frac{3}{11})$$

$$x = -\frac{19 \cdot 3}{6 \cdot 11}$$

$$x = -\frac{57}{66}$$

Сократим дробь на 3:

$$x = -\frac{19}{22}$$

Ответ: x = -\(\frac{19}{22}\)