Как решать неравенства: особенности и алгоритмы

В математике под термином неравенство понимают поиск различий между двумя и более объектами на основе определенных вычислений. Оно может касаться:

• чисел, числовых выражений;
• тех или иных величин: площадь, длина, объем и т. д.;
• фигур;
• векторов и т. д.

Стартом, когда школьников знакомят с такими бинарными выражениями и вычислениями, становится 8 класс, и уже в следующем, девятом, ученики разбирают более сложные понятия, связанные с этой темой. Важно вникнуть и понять хотя бы наиболее распространенные способы решения неравенств, поскольку в выпускных итоговых математических испытаниях встречаются задания с ними достаточно часто. В курсе алгебры 9 класс старшеклассники проходят самый эффективный и простой способ – интервалов. Он особенно удобен, если требуется решить полные или неполные квадратные неравенства с одной переменной.

Под числовым неравенством принято понимать такое неравенство, в котором с обеих сторон от знака расположены числовые выражения либо числа. Решением, соответственно, будет такая переменная, при подстановке которой в выражение неравенство окажется верным. Его решение – это такое множество, при котором условие неравенства будет выполнено.

 Как решать неравенства методом интервалов – алгоритм действия

Это наиболее практичный метод, если требуется решить рациональные неравенства, то есть, описанные формулой f(x)≤0, в которой f(x) – рациональная функция. При этом неважно, каким будет знак.

Решением-интервалом здесь будет такой промежуток на числовой прямой, в который входят все числа, которые ограничены концами данного интервала, то есть, его пределами. Если их сложно себе представить, визуализировать мысленно, то лучше построить числовую прямую, в том числе – схематически, на которой их следует отметить. Решение заключается в выполнении определенных шагов. Вначале надо найти нули трехчлена квадрата ах2+вх+с, отметить их на построенной координатной прямой. Затем – при строгом неравенстве (только знаки «<» или «>» без знака «=»), сделать пустые концы интервала, при нестрогом – заполненными (обычные точки). Данные точки и будут разбивать на промежутки координатную прямую (ось). После этого определяются отдельно для каждого промежутка знаки трехчлена. Если нули найти не удалось, то знак определяется полностью над всей прямой. Соответствующие промежутки заштриховываются. Вместо штриховки можно использовать интервальные значки-«арки». И, наконец, выбирается соответствующий интервал и записывается найденный ответ. Если же требуется решить иррациональные неравенства, то есть, содержащие переменную, которую надо найти, под знаком корня или с дробью, то тут подходы будут несколько другими. В этом случае рекомендованы другие методики либо изначально выражение надо упростить, привести к виду, при котором возможно применить метод интервалов.

Как решать квадратные неравенства и не только другими методами

Продолжая рассматривать вопрос, как решать дробные неравенства, можно воспользоваться рекомендациями:

1. Приравнять к нулю числитель дроби, определить для числителя нули.
2. Приравнять знаменатель к нулю и найти нули для знаменателя.
3. Перенести на ось х нули как знаменателя, так и числителя. Как в интервально методе, важно следить, является ли неравенство строгим либо нестрогим.
4. Сделать в интервалах расстановку знаков.
5. Определить подходящий интервал, записать ответ.

К недопустимым действиям в данном алгоритме относится деление/умножение на отрицательные числа без смены знака, домножение на знаменатель, исключение основания либо логарифма.

Анализируя, как решать линейные неравенства, нужно вначале раскрыть все возможные, присутствующие в неравенстве, скобки. Затем числа перенести в одну, а буквы в другую сторону, учитывая изменения знаков при переносе. Потом избавиться от стоящего перед буквой числового коэффициента посредством деления/умножения обеих частей на одно положительное число. Решение отложить на координатном луче, зафиксировать в виде промежутка.

Квадратные неравенства, помимо метода интервалов, можно решать графическим методом. Это же метод подойдет при выполнении задачи, как решать неравенства с модулем, но здесь важно уметь строить графики соответствующих функций с модулями. Для модульных неравенств также подходят метод замены системой или равносильной совокупностью, геометрической интерпретации, использование знакотождественных множителей и другие. Если задание содержит несколько вложенных модулей, то способы решения неравенство можно и нужно комбинировать, выбирая наиболее рациональное решение в каждом конкретном случае.

Важным вопросом является как решать показательные неравенства, которые также изучаются в рамках математической программы за десятый класс. Согласно определению, это такие неравенства, где переменная, при постоянном основании, входит исключительно в показатели степеней. Такие функции могут быть возрастающими, убывающие, имеющие разные основания, а также такие показательные функции, которые всегда больше нуля. В процессе решения таких неравенств (показательных) необходимо определить их базовую основу, изучив использующуюся в неравенстве базовую степень, при возможности преобразовать неравенство в формат, наиболее удобный для проведения последующего анализа. Оценить, какой метод будет наиболее удобный в процессе решения (графический, использование логарифмов и др.), найти ОДЗ (область допустимых значений). После применения метода и получения результата его надо проверить, подставляя в исходное выражение вместо переменной. Если решение подходит, его нужно записать в формате интервалов, но возможно и в другом, предусмотренном условием поставленной задачи, задания. В процессе решения нередко удобной методикой бывает применение свойств убывания либо возрастания анализируемой показательной функции.