Как решать матрицы: методы, ранги порядки

Под матрицами в математике понимается числовая таблица, которая имеет упорядоченный вид в табличной форме либо в формате прямоугольника. Чтобы понять, как решать матрицы, следует иметь крепкие базовые знания арифметики и основ алгебры. Простейшим примером матрицы с неизвестными, с которой знакомятся еще в школе, является система линейных уравнений. Основными элементами математической матрицы являются столбцы и строки. Элементы, расположенные в ней, обозначают буквами и индексами по наименованию столбцов и строк. Так, запись a_iJ обозначает такой элемент матрицы А, который расположен в строке i, столбце j, соответственно, на их пересечении.

Операции, проводимые с матрицами, характеризуются теми математическими действиями, которые нужно выполнить. Это может быть:

• сложение и вычитание, которое надо выполнять покомпонентно, что означает, что каждый элемент одной матрицы последовательно соответственно складывается/вычитается с/из соответствующего элемента другой матрицы;
• умножение на число. Это простая математическая операция с матрицами. Для ее проведения каждый элемент должен быть умножен на заданное число;
• умножение матрицы на матрицу более сложная математическая процедура. Она подразумевает, что каждый элемент строки одной матрицы перемножается соответственно с элементом строки другой. После этого результаты суммируются;
• транспонирование матрицы – процесс, при котором строки матрицы превращаются в ее столбцы и наоборот.

Среди терминологии, которую следует изучить и запомнить, выделяют определитель матрицы, то есть число, которое связано с представленным матрицей линейным оператором. Еще одно понятие – ранг матрицы, то есть, максимальное число линейно независимых ее столбцов и строк. Чтобы найти ранг, опираются на алгоритм окаймляющих миноров либо на метод элементарных преобразований. Размерность матрицы определяется числом входящих в нее столбцов и строк, этот показатель носит название порядок матрицы, существуют матрицы 1, 2, 3, 4 порядка и так далее.

 Как решать матрицы 2 на 2 и вычислять другие определители

Начав с несложного и понятного матричного вычисления, можно найти определитель 2 на 2 матрицы. Для этого необходимо вычислить разность произведений элементов диагоналей, главной и побочной. В проведении вычисления удобно пользоваться формулой: det(A) = ad – bc, в которой: а – это элемент первой строки первого столбца матрицы, b – элемент первой строки второго столбца, с – вторая строка и первый столбец соответственно и d – элемент из 2-й строки 2-го столбца. Делается пошаговая запись:

1. Записываются все четыре элемента матрицы.
2. Исчисляется произведение ad.
3. Для завершения вычислений по формуле находится произведение bc.
4. В соответствии с приведенной выше формулой рассчитывается разность значений, полученных в шаге 2 и 3.
5. Записывается найденный результат, который и является определителем матрицы 2 на 2.

Чтобы понять, как решать матрицу 2 на 3, необходимо последовательно проводить математические операции таким образом, чтобы привести ее к треугольному виду. Для каждого из элементов первого столбца (либо первой строки) нужно получить сомножитель данных элементов. После этого элемент умножается на определитель соответствующего кофактора, то есть матрицы, полученной при удалении столбца/строки такого элемента из исходной матрицы. В конце полученные значения добавляют с альтернативными знаками.

При выполнении задания, как решать матрицы 3 на 3, можно воспользоваться одним из распространенных в этом случае способов. Например, правилом Саррюса, мнемоническим правилом с треугольниками либо привести матричную таблицу к треугольной форме, где элементы снизу/сверху от главной диагонали будут равны нулю. В целях упрощения задачи вычисления рекомендуется также воспользоваться методикой разбиения на более мелкие определители (2 на 2). В качестве опорной лучше выбирать ту строку либо столбец, в которых число нулей наибольшее.

Также есть свои методы, как решать матрицы 4 на 4, в их числе выделяют разложение по строчке, то есть запись определителя через сумму алгебраических дополнений элементов столбца/строки, по которым будет проводиться разложение. Еще одна методика – расширение по младшим, которую надо проводить рекурсивно до тех пор, пока не будет получена подматрица 2 на 2, способы решения которой были указаны выше. И для нее уже определитель вычисляется напрямую. Не менее популярен для решения данных матриц и известный способ Гаусса.

Как решать матрицы методом Гаусса и другими популярными методами

Для упомянутой выше матрицы 4 на 4 решение методом Гаусса заключается в преобразовании матричной таблицы таким образом, чтобы под главной диагональю снизу располагались только нули. После этого можно будет рассчитать по этой диагонали произведение ее элементов. Эта методика, второе название которой – метод элементарных преобразований, подходит для расчета определителя матрицы различных рангов. Он удобен тем, что позволяет свести к минимуму объем проводимых вычислений.

Также нелишним будет разобраться, как решать матрицы методом Крамера, который будет актуален в том случае, когда количество уравнений и неизвестных совпадают. Иными словами, он подходит для так называемые квадратных матриц, которые будут иметь вид n×n. По этой методике вначале исчисляется главный определитель матрицы, после поменять крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов, вычислить второй определитель, после повторить то же самое для всех столбцов матрицы. Когда все детерминанты будут определены, проводится расчет переменных по формуле xi = Di/D, в которой D – главный детерминант, Di, соответственно, прочие.

Также для нахождения матриц можно использовать современные технологии, в частности, удобно пользоваться специальными онлайн-калькуляторами, размещенными на математических ресурсах в сети интернет.