Как решать корни: варианты и рекомендации

Одной из непростых тем в математике, в том числе – в школьной, называют корни. По определению они представляют собой числа, которые получают при возведении в степени другого числа. Вместо чисел (которые характерны для арифметических корней) могут использоваться буквенные, тригонометрические и другие выражения. Это будут, например, алгебраические и т. д. корни. В математике корень записывается знаком «√». Когда такой математический знак стоит перед числом (число или выражение записано под корнем), то необходимо выполнить математическое действие, которое носит название извлечения корня числа. Так, число 5 в квадрате будет равно 25. Следовательно, квадратный корень из 25 равен 5. Таким образом, извлечение корня – это математическое действие, обратное возведению в ту степень, корень которой указан. В классической математике, арифметике, существует множество корней. Наиболее часто применяемыми, особенно в рамках школьной программы, считаются:

• квадратные, то есть, обратные возведению в квадрат, во вторую степень. В этом случае над знаком корня никакое число не проставляется, он априори считается квадратным;
• степенные, например, кубические, четвертой, пятой и т. д. степени. Действие, обратное возведению в эту степень. Само число, определяющее степень корня, пишется на ним. Такие корни со степенями решаются аналогично квадратным, можно применять таблицы кубов, четвертой и пр. степеней;
• дробные, их отличие заключается в том, что при их решении действует определенный алгоритм. А именно – поочередное извлечение корня из каждой части дроби.

Если объяснять понятие корней с точки зрения геометрии, то в отношении квадратного это будет длина стороны такого квадрата, площадь которого и будет равна числу, из которого нужно извлечь корень.

Одним из вопросов у школьников, особенно перед экзаменами, считается корни алгебра как решать, а также – порядок решения арифметического корня. Принцип у этих действий приблизительно одинаковый. Основное отличие арифметического заключается в том, что существует только для вещественных неотрицательных чисел. А также в том, что его значение всегда неотрицательное, оно существует и однозначно.

Как решать квадратные корни 8 класс школы

Вплотную с этими понятиями и принципами выполнения математических действий с ними знакомятся восьмиклассники. Именно они в рамках программы по алгебре изучают, как решать квадратные корни, какой алгоритм в рамках решения необходимо и обязательно применять. Основных способов несколько. Можно воспользоваться одним из перечисленных ниже методов:

1. Деления. Оптимальная техника, если число, из которого требуется извлечь корень второй степени (квадратный) оканчивается полным квадратом. К таким числам, например, относятся 4, 16, 81, 100 и аналогичные. То есть те, которые были получены посредством возведения в квадрат определенного числа. К ним относятся целые числа, которые можно разделить на то или иное число таким образом, чтобы частное было равно его делителю. Поэтому их можно отыскать, выполняя действие деления, так √16 = 4 = 9 и т. д.
2. Усреднения, который также носит другое название – метод поиска среднего арифметического. Он больше подходит для чисел, которые не относятся к полным квадратам. Например, для того, чтобы извлечь корень из 20, потребуется найти два полных квадрата, между которыми располагается число 20 на числовой прямой. Этими числами-квадратами, соответственно, будут 16 (квадрат 4) и 25 (квадрат 5). После этого надо разделить 20 на √16 = 4 (первого квадрата), затем выполнить аналогичную операцию со вторым квадратом. Следующий шаг – нахождение среднего арифметического между полученными значениями-результатами выполненных действий. Итог - √20 = 4.47.
3. Разложение числа под корнем на квадратные множители. Нужно выполнить попытку представить число под корнем как произведение квадратных множителей. После этого извлечь корень из каждого из них, а найденные результаты перемножить между собой.
4. Методика оценки значений корня. Для ее применения сравниваются значения корней со значением корня квадратного того числа (чисел), которые с обеих сторон числовой прямой расположены ближе всего к подкоренному. Результатом вычислений станет десятичная дробь, которую затем следует перемножить со стоящим под знаком корня числом. Но даже в рамках школьной программы существует не только квадратный корень, но и более сложные случаи. Они требуют применения других алгоритмов вычислений.

Корни математика как решать задания в определенных случаях

Разобравшись с понятием квадратный корень и технологией его исчисления, обычно переходят к задаче – как решать корни со степенями, отличными от второй (квадрата). Если с частным случаем квадрата проблем не возникло, для извлечения корня других степеней можно складывать показатели степени, при их умножении, вычитать – при их делении, и умножать, когда степень возводится в степень. В остальном – действовать в соответствии с алгоритмами и правилами, которые справедливы для рассмотренного выше случая.

Еще один значимый математический вопрос – как решать корни с дробями, также решается в рамках определенных принятых правил и алгоритмов. Здесь самой важной будет установка, что извлекать корень нужно поочередно из знаменателя и числителя дроби. И – учитывать такое правило: корень квадратный дроби (или другой степени целого числа) равняется отношению корня из числителя к корню знаменателя. Если в задании указано смешанное число, то первым шагом будет избавление от целой части, то есть приведение смешанной дроби к неправильной. Подкоренные дроби запрещено вычитать либо складывать между собой, объединив их общим знаком корня.

Для более быстрого вычисления корней, а также для контроля правильности выполненных действий и их результатов, рекомендуется использовать специальные математические калькуляторы, в том числе – онлайновые.