Как найти косинус: технологии расчета
Перед тем, как начать отвечать на вопрос, как найти косинус треугольника, надо вспомнить, что обозначает это математическое понятие и с какими терминами, показателями и функциями оно связано. Поскольку речь идет о прямоугольном треугольнике, в числе значений, которые могут оказать влияние на искомую величину, можно выделить:
- градусную меру рассматриваемого угла;
- катеты, то есть, стороны, которые образуют прямой угол в фигуре;
- гипотенуза, та сторона треугольника, которая противолежит прямому углу.
При наличии числовых значений всех вышеперечисленных элементов задача, как найти тот или иной расчетный показатель, включая косинус, будет решаться достаточно просто.
В классической тригонометрии есть и другие способы расчета. Например, через синус, то есть, подставляя его значение в те или иные тождества и выражения. Поскольку существует несколько классических расчетных формул, то узнать, если известен синус, величину косинуса, не составит труда.
Наконец, еще одна технология, которая широко применяется не только в классической математике и ее разделах, но и в других технических науках, и на практике – косинус угла между векторами, который определяется как на плоскости, так и в пространстве. Изучить все методики и разобраться с выполнением заданий с применением каждой из них можно, рассмотрев решебник по фото, где данный материал представлен во всем многообразии с подробным описанием алгоритмов выполнения, пошагово и порядком оценки результатов.
Как найти косинус угла через синус и другими методами
Начать разбираться в теме следует с классической технологии. Если взять стандартный треугольник с прямым углом, определиться, какие стороны в нем являются катетами, а какая – гипотенузой, то далее, учитывая это, останется лишь применить формулу косинуса угла. Он будет равен результату от деления длины прилежащего к этому углу катета к длине, соответственно, гипотенузы (это наиболее длинная сторона фигуры, которая всегда находится напротив угла с градусной мерой в 90 градусов). Математически, с помощью специальных обозначений, эту формулу можно записать так: cos α = b/c, где, соответственно, b будет прилежащим катетом, c — гипотенузой.
Чтобы понять, как найти косинус если известен синус, необходимо обратиться к основному тригонометрическому тождеству. В целом, его применение позволяет без проблем решить множество задач в тригонометрии, упростить сложные выражения, сократить уравнения и примеры. Это правило (тождество) гласит, что для одного и того же угла сумма квадратов его синуса и косинуса всегда будет равна единице. Записывается формульно это таким образом: cos²a + sin²a = 1. Соответственно, выполняя преобразования с привлечением математических законов, можно вывести из данного выражения косинус интересующего угла: cosα = √(1 − sin²α). Решая, как найти косинус через синус, важно не забывать про математические знаки. Перед корнем знак будет выбран в зависимости от того факта, в какой четверти координатной плоскости размещается угол α. Для первой и четвертой, это, соответственно, будет «+», а для второй и третьей – «-».
Как найти косинус угла между векторами – по их скалярному произведению
Здесь выводы будут базироваться на том, что между двумя векторами всегда образуется угол. Его значение может располагаться в пределах от нуля до 180 градусов. Когда векторы не параллельны друг другу, они могут размещаться на пересекающихся прямых. Таким образом, они могут образовать углы:
- Прямой.
- Острый.
- Тупой.
- Развернутый.
Для каждого из них можно рассчитать косинус и определить его математический знак. Так, если между векторами получен острый угол, то скалярное произведение, а также косинус этого угла будут положительными числами. Если угол, соответственно, тупой, то оба перечисленных выше показателя будут отрицательными. Если получен прямой угол, то скалярное произведение, так же, как и косинус, будут равны нулю (0). Третий случай относится к особенным, по нему можно сделать обратный вывод, что если скалярное произведение = 0, то векторы являются перпендикулярными друг другу. Сам косинус такого угла, образованного между векторами, будет равен их скалярному произведению, деленному на произведение длин этих векторов. В зависимости от того, где они заданы – в пространстве либо на плоскости, будет зависеть формула. Например, для плоскости косинус будет вычисляться по формуле: cos ϕ = (a, b) / (|a| · |b|). Если же они заданы в пространстве, то каждая точка описывается не двумя, а, соответственно, тремя координатами. Таким образом, между ними можно будет вычислить косинус угла, прибегнув к формульному выражению: cosa(a, b) = ax·bx + ay·by + az·bz. Подставив соответствующие числовые значения, можно получить результат.