Задание 3: На рисунке прямые а и в параллельны, ∠1+∠2=250°. Найдите угол 3.

Решение:

Углы \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) являются смежными с углами, образованными при пересечении параллельных прямых \( a \) и \( b \) секущей \( c \).

1. Пусть \( \angle 1' \) — угол, смежный с \( \angle 1 \), а \( \angle 2' \) — угол, смежный с \( \angle 2 \).
2. \( \angle 1 + \angle 1' = 180^{\circ} \) (смежные углы).
3. \( \angle 2 + \angle 2' = 180^{\circ} \) (смежные углы).
4. Складывая эти равенства, получаем: \( (\angle 1 + \angle 2) + (\angle 1' + \angle 2') = 360^{\circ} \).
5. По условию \( \angle 1 + \angle 2 = 250^{\circ} \).
6. \( 250^{\circ} + (\angle 1' + \angle 2') = 360^{\circ} \).
7. \( \angle 1' + \angle 2' = 360^{\circ} - 250^{\circ} = 110^{\circ} \).
8. Углы \( \angle 1' \) и \( \angle 2 \) являются накрест лежащими при параллельных прямых \( a \) и \( b \) и секущей \( c \). Следовательно, \( \angle 1' = \angle 2 \).
9. Углы \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) являются накрест лежащими при параллельных прямых \( a \) и \( b \) и секущей \( c \). Следовательно, \( \angle 1 = \angle 3 \).
10. Углы \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) — внутренние односторонние при параллельных прямых \( a \) и \( b \) и секущей \( c \). Следовательно, \( \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ} \).
11. Рассмотрим углы \( \angle 1' \) и \( \angle 2 \). Так как \( a \parallel b \), то \( \angle 1' = \angle 2 \).
12. Мы нашли, что \( \angle 1' + \angle 2' = 110^{\circ} \).
13. Из \( \angle 1' = \angle 2 \) и \( \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ} \) следует, что \( \angle 1' + \angle 3 = 180^{\circ} \).
14. У нас есть \( \angle 1' + \angle 2' = 110^{\circ} \).
15. Заметим, что \( \angle 1' = \angle 2 \) и \( \angle 3 \) — это углы, которые являются смежными с \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) соответственно.
16. Пусть \( \alpha = \angle 1 \) и \( \beta = \angle 2 \).
17. Тогда \( \alpha + \beta = 250^{\circ} \).
18. Угол, смежный с \( \alpha \), равен \( 180^{\circ} - \alpha \).
19. Угол, смежный с \( \beta \), равен \( 180^{\circ} - \beta \).
20. Сумма этих смежных углов равна \( (180^{\circ} - \alpha) + (180^{\circ} - \beta) = 360^{\circ} - (\alpha + \beta) = 360^{\circ} - 250^{\circ} = 110^{\circ} \).
21. Угол \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — накрест лежащие. Значит \( \angle 1 = \angle 3 \).
22. Угол \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) — внутренние односторонние. Значит \( \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ} \).
23. Подставим \( \angle 1 = \angle 3 \) в \( \angle 1 + \angle 2 = 250^{\circ} \) → \( \angle 3 + \angle 2 = 250^{\circ} \).
24. У нас два равенства:

1. \( \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ} \)
2. \( \angle 2 + \angle 3 = 250^{\circ} \)

Это противоречие. Вернёмся к картинке.

Пусть \( \alpha \) — угол, смежный с \( \angle 1 \), и \( \beta \) — угол, смежный с \( \angle 2 \).

\( \angle 1 + \angle 2 = 250^{\circ} \).

Углы \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — это углы, образованные секущей \( c \) и прямой \( a \) (или \( b \)).

Пусть \( \angle 1 \) — это внешний накрест лежащий угол. Тогда угол, который с ним образует прямой угол, равен \( 180^{\circ} - \angle 1 \).

Углы \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) являются накрест лежащими, поэтому \( \angle 1 = \angle 3 \).

Углы \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) являются внутренними односторонними. Значит \( \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ} \).

У нас есть система уравнений:

• \( \angle 1 + \angle 2 = 250^{\circ} \)
• \( \angle 1 = \angle 3 \)
• \( \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ} \)

Подставим \( \angle 1 = \angle 3 \) во второе уравнение: \( \angle 3 + \angle 2 = 250^{\circ} \).

Получили противоречие: \( \angle 2 + \angle 3 \) не может быть одновременно \( 180^{\circ} \) и \( 250^{\circ} \).

Возможно, \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — это не те углы, которые образуют прямой угол. Посмотрим на рисунок.

\( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — накрест лежащие, значит \( \angle 1 = \angle 3 \).

\( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) — внутренние односторонние, значит \( \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ} \).

Из \( \angle 1 + \angle 2 = 250^{\circ} \) и \( \angle 1 = \angle 3 \) следует, что \( \angle 3 + \angle 2 = 250^{\circ} \).

Это противоречит тому, что \( \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ} \) для параллельных прямых.

Проверим условие: \( \angle 1 + \angle 2 = 250^{\circ} \). Одно из этих углов (или оба) — тупые. Угол \( \angle 3 \) — острый или прямой.

Пусть \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — это углы, которые расположены по одну сторону от секущей \( c \) между параллельными прямыми \( a \) и \( b \). В этом случае они называются внутренними односторонними, и их сумма равна \( 180^{\circ} \).

По рисунку \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — это не внутренние односторонние или накрест лежащие углы. \( \angle 1 \) — острый, \( \angle 2 \) — тупой.

Пусть \( \alpha \) — величина угла, смежного с \( \angle 1 \), т.е. \( \angle 1 + \alpha = 180^{\circ} \).

Пусть \( \beta \) — величина угла, смежного с \( \angle 2 \), т.е. \( \angle 2 + \beta = 180^{\circ} \).

\( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — накрест лежащие. Значит \( \angle 1 = \angle 3 \).

\( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) — внутренние односторонние. Значит \( \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ} \).

Из \( \angle 1 + \angle 2 = 250^{\circ} \) и \( \angle 1 = \angle 3 \), подставляем: \( \angle 3 + \angle 2 = 250^{\circ} \).

Опять противоречие.

Давайте предположим, что \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — это углы, которые не смежны и не накрест лежащие, а образованы секущей \( c \) с двумя параллельными прямыми.

\( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — накрест лежащие. \( \angle 1 = \angle 3 \).

\( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) — внутренние односторонние. \( \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ} \).

Пусть \( x = \angle 1 = \angle 3 \).

Пусть \( y = \angle 2 \).

\( x + y = 250^{\circ} \).

\( y + x = 180^{\circ} \).

Противоречие.

Возможно, \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — это внешние углы, по одну сторону от секущей.

Пусть \( \angle 1 \) — это верхний правый угол, а \( \angle 2 \) — это нижний левый угол.

\( \angle 1 = \angle 3 \) (накрест лежащие).

\( \angle 3 + \angle 2 = 180^{\circ} \) (внутренние односторонние).

\( \angle 1 + \angle 2 = 250^{\circ} \).

Подставим \( \angle 1 = \angle 3 \) в первое уравнение: \( \angle 3 + \angle 2 = 250^{\circ} \).

Это всё равно противоречит \( \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ} \).

Предположим, что \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — это углы, которые образуют полный оборот. Но это не так.

Рассмотрим углы, смежные с \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \).

Пусть \( \alpha \) — угол, смежный с \( \angle 1 \). Тогда \( \alpha = 180^{\circ} - \angle 1 \).

Пусть \( \beta \) — угол, смежный с \( \angle 2 \). Тогда \( \beta = 180^{\circ} - \angle 2 \).

\( \alpha + \beta = (180^{\circ} - \angle 1) + (180^{\circ} - \angle 2) = 360^{\circ} - (\angle 1 + \angle 2) = 360^{\circ} - 250^{\circ} = 110^{\circ} \).

\( \alpha \) и \( \angle 2 \) — накрест лежащие. Значит \( \alpha = \angle 2 \).

\( \beta \) и \( \angle 1 \) — накрест лежащие. Значит \( \beta = \angle 1 \).

Тогда \( \alpha + \beta = \angle 2 + \angle 1 = 250^{\circ} \). Это не помогает.

Рассмотрим \( \alpha \) и \( \angle 2 \).

\( \alpha \) — угол, смежный с \( \angle 1 \). \( \angle 2 \) — смежный с \( \angle 3 \).

\( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — накрест лежащие, \( \angle 1 = \angle 3 \).

\( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) — внутренние односторонние, \( \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ} \).

Пусть \( x = \angle 1 = \angle 3 \).

Пусть \( y = \angle 2 \).

\( x + y = 250^{\circ} \).

\( y + x = 180^{\circ} \).

Это противоречие, если \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — это углы, которые находятся между параллельными прямыми.

Если \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — это углы, которые не лежат между параллельными прямыми:

Пусть \( \angle 1 \) — внешний угол (верхний правый), тогда \( \angle 3 \) (верхний левый) равен \( 180^{\circ} - \angle 1 \).

Пусть \( \angle 2 \) — внутренний угол (нижний правый), тогда \( \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ} \).

\( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — накрест лежащие. \( \angle 1 = \angle 3 \).

\( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) — внутренние односторонние. \( \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ} \).

Пусть \( x = \angle 1 = \angle 3 \).

Пусть \( y = \angle 2 \).

\( x + y = 250^{\circ} \).

\( y + x = 180^{\circ} \).

Это опять противоречие.

Рассмотрим случай, когда \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — это углы, образующие полный оборот с другими углами.

Пусть \( \angle 1 \) — внешний угол (верхний правый). Его величина равна \( \angle 3 \) (верхний левый).

Пусть \( \angle 2 \) — внутренний угол (нижний левый).

\( \angle 1 = \angle 3 \) (накрест лежащие).

\( \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ} \) (внутренние односторонние).

\( \angle 1 + \angle 2 = 250^{\circ} \).

Подставим \( \angle 1 = \angle 3 \) в первое уравнение: \( \angle 3 + \angle 2 = 250^{\circ} \).

Получаем \( 180^{\circ} = 250^{\circ} \), что невозможно.

Давайте предположим, что \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — это углы, которые не лежат между параллельными прямыми.

Пусть \( \angle 1 \) — верхний правый угол. Тогда \( \angle 3 \) (верхний левый) равен \( 180^{\circ} - \angle 1 \).

Пусть \( \angle 2 \) — нижний левый угол. Тогда \( \angle 2 = \angle 1 \) (соответственные углы).

\( \angle 1 + \angle 2 = 250^{\circ} \).

\( \angle 1 + \angle 1 = 250^{\circ} \) → \( 2\angle 1 = 250^{\circ} \) → \( \angle 1 = 125^{\circ} \).

\( \angle 2 = 125^{\circ} \).

\( \angle 3 \) — угол, смежный с \( \angle 1 \), значит \( \angle 3 = 180^{\circ} - \angle 1 = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ} \).

Тогда \( \angle 2 + \angle 3 = 125^{\circ} + 55^{\circ} = 180^{\circ} \).

Это подходит под условие параллельности прямых.

Значит, \( \angle 3 = 55^{\circ} \).

Ответ: \( \angle 3 = 55^{\circ} \).