Задача 7. В прямоугольном треугольнике АВС с углом ∠C = 90° провели высоту СМ. Найдите угол АВС, если АС = 2 см, АМ = 1 см.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике АМС (\( \angle AMC = 90^{\circ} \)) катет АМ (1 см) равен половине гипотенузы АС (2 см).
2. Следовательно, угол, лежащий против катета АМ, равен 30°. То есть \( \angle ACM = 30^{\circ} \).
3. В прямоугольном треугольнике АВС (\( \angle C = 90^{\circ} \)) сумма острых углов равна 90°.
4. \( \angle ABC + \angle BAC = 90^{\circ} \).
5. \( \angle BAC = \angle BCA - \angle ACM = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
6. \( \angle ABC = 90^{\circ} - \angle BAC = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Ответ: \( \angle ABC = 30^{\circ} \).