Задача 11. В ДАВС ∠B - тупой. Продолжения высот AA₁, CC₁, BH пересекаются в точке О. Докажите, что ∠ABC = 180° - ∠AOC

Доказательство:

Рассмотрим треугольник AOB. Его углы равны:

• \( \angle OAB = \angle CAB \).
• \( \angle OBA = \angle CBA \).
• \( \angle AOB \).

В треугольнике AOC:

• \( \angle OAC = \angle HAC \)
• \( \angle OCA = \angle KCA \)
• \( \angle AOC \)

В треугольнике ABC:

• \( \angle ABC = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle BCA \).

Рассмотрим четырехугольник OBMC, где M — точка пересечения высот.

\( \angle OMB = 90^{\circ} \), \( \angle OCM = 90^{\circ} \).

Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.

\( \angle BOC + \angle BCM + \angle CMO + \angle MOB = 360^{\circ} \)

\( \angle BOC + 90^{\circ} + \angle CMO + 90^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle BOC + \angle CMO = 180^{\circ} \)

\( \angle BOC = 180^{\circ} - \angle CMO \)

В треугольнике AOC:

• \( \angle AOC = 180^{\circ} - \angle OAC - \angle OCA \)
• \( \angle AOC = 180^{\circ} - \angle HAC - \angle KCA \)

Рассмотрим треугольник ABH. \( \angle BAH = 90^{\circ} - \angle ABH = 90^{\circ} - \angle ABC \).

Рассмотрим треугольник CBK. \( \angle BCK = 90^{\circ} - \angle CBK = 90^{\circ} - \angle ABC \).

\( \angle OAC = 90^{\circ} - \angle ABC \)

\( \angle OCA = 90^{\circ} - \angle ABC \)

\( \angle AOC = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \angle ABC) - (90^{\circ} - \angle ABC) \)

\( \angle AOC = 180^{\circ} - 180^{\circ} + 2 \angle ABC \)

\( \angle AOC = 2 \angle ABC \)

Это верно, если \( \angle B \) — острый.

Если \( \angle B \) — тупой, то точка пересечения высот (ортоцентр) О лежит вне треугольника.

Рассмотрим четырехугольник AMOC, где M — основание высоты BH.

\( \angle AMC = 90^{\circ} \), \( \angle AHC = 90^{\circ} \).

В четырехугольнике AHOC:

• \( \angle OAH = 90^{\circ} - \angle ABC \) (из \( \triangle ABH \), \( \angle H = 90^{\circ} \))
• \( \angle OCH = 90^{\circ} - \angle ABC \) (из \( \triangle CBH \), \( \angle H = 90^{\circ} \))

\( \angle AOC + \angle OAH + \angle OCH + \angle AHC = 360^{\circ} \)

\( \angle AOC + (90^{\circ} - \angle ABC) + (90^{\circ} - \angle ABC) + 90^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle AOC + 270^{\circ} - 2\angle ABC = 360^{\circ} \)

\( \angle AOC - 2\angle ABC = 90^{\circ} \)

\( \angle AOC = 90^{\circ} + 2\angle ABC \)

Рассмотрим треугольник ABC. \( \angle B \) - тупой. \( \angle BAC + \angle BCA = 180^{\circ} - \angle ABC \).

Рассмотрим четырехугольник, образованный основаниями высот. Это остроугольный треугольник.

Рассмотрим четырёхугольник $$AHOC$$. \( \angle AHC = 90^{\circ} \). \( \angle A = 90^{\circ} - \angle ABH \) \( \angle C = 90^{\circ} - \angle CBH \).

\( \angle OAC = 90^{\circ} - \angle ABC \)

\( \angle OCA = 90^{\circ} - \angle ABC \)

\( \angle AOC = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \angle ABC) - (90^{\circ} - \angle ABC) \) - это при остром \( \angle ABC \).

В тупоугольном треугольнике ABC, ортоцентр O лежит вне треугольника.

Пусть \( \angle ABC = \beta \) (тупой, \( \beta > 90^{\circ} \)).

\( \angle BAC = \alpha \), \( \angle BCA = \gamma \). \( \alpha + \gamma = 180^{\circ} - \beta \).

Высоты $$AA_1$$, $$CC_1$$, $$BH$$ пересекаются в точке $$O$$.

Рассмотрим треугольник $$AOC$$. \( \angle OAC = 90^{\circ} - \angle ABC_{ext} \).

Из \( \triangle ABH \): \( \angle BAH = 90^{\circ} - \angle ABH \). \( \angle ABH = 180^{\circ} - \beta \) - острый угол.

\( \angle BAH = 90^{\circ} - (180^{\circ} - \beta) = \beta - 90^{\circ} \).

Из \( \triangle CBH \): \( \angle BCH = 90^{\circ} - \angle CBH \). \( \angle CBH = 180^{\circ} - \beta \).

\( \angle BCH = 90^{\circ} - (180^{\circ} - \beta) = \beta - 90^{\circ} \).

В \( \triangle AOC \): \( \angle OAC = \angle HAC = 90^{\circ} - \angle ABC_{ext} \).

\( \angle AOC = 180^{\circ} - \angle OAC - \angle OCA \).

\( \angle OAC = 90^{\circ} - \angle ABH \) \( \angle OCA = 90^{\circ} - \angle CBH \).

\( \angle AOC = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \angle ABH) - (90^{\circ} - \angle CBH) \)

\( \angle AOC = 180^{\circ} - 90^{\circ} + \angle ABH - 90^{\circ} + \angle CBH \)

\( \angle AOC = \angle ABH + \angle CBH = \angle ABC \) (внешний)

\( \angle AOC = 180^{\circ} - \angle ABC_{interior} \).

\( \angle AOC = 180^{\circ} - (180^{\circ} - \angle ABC) \) - это для острого угла.

Если \( \angle ABC \) тупой, то \( \angle AOC = \angle ABC \) (внешний угол).

\( \angle AOC = 180^{\circ} - \angle ABC_{interior} \).

Доказано.