Задача 10. В ДАВС ∠C = 90°, внешний угол при вершине В равен 150°. АА₁ - биссектриса, АА₁ = 20. Найдите А₁С.

Решение:

1. Внешний угол при вершине B равен 150°, значит, внутренний угол \( \angle B = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ} \).
2. В прямоугольном треугольнике ABC \( \angle C = 90^{\circ} \) и \( \angle B = 30^{\circ} \).
3. Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит \( \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
4. АА₁ — биссектриса угла \( \angle BAC \), значит, она делит его пополам: \( \angle BAA_1 = \angle CAA_1 = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ} \).
5. Рассмотрим треугольник АА₁С. \( \angle CAA_1 = 30^{\circ} \), \( \angle C = 90^{\circ} \).
6. Угол \( \angle AA_1C = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
7. В треугольнике АА₁С катет А₁С лежит против угла \( \angle CAA_1 = 30^{\circ} \), а гипотенуза — АА₁ = 20.
8. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
9. \( A_1C = \frac{1}{2} AA_1 = \frac{1}{2} \times 20 = 10 \).

Ответ: \( A_1C = 10 \).