y = sqrt(2x) * lg(2x)

Решение:

Для данной функции \( y = \sqrt{2x} \cdot \log_{10}(2x) \) необходимо найти область определения и, возможно, проанализировать её свойства (например, производную).

Область определения:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: \( 2x \ge 0 \) \( \implies x \ge 0 \).

2. Аргумент логарифма должен быть положительным: \( 2x > 0 \) \( \implies x > 0 \).

Объединяя оба условия, получаем, что область определения функции — \( x > 0 \).

Производная функции (для дальнейшего анализа):

Используем правило произведения \( (uv)' = u'v + uv' \) и правило дифференцирования сложной функции.

Пусть \( u = \sqrt{2x} = \sqrt{2} x^{1/2} \) и \( v = \log_{10}(2x) = \frac{\ln(2x)}{\ln(10)} \).

Найдём производные \( u' \) и \( v' \):

\( u' = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{2x}} \).

\( v' = \frac{1}{\ln(10)} \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x \ln(10)} \).

Теперь найдём производную \( y' \):

\[ y' = \left( \frac{1}{\sqrt{2x}} \right) \cdot \log_{10}(2x) + \sqrt{2x} \cdot \left( \frac{1}{x \ln(10)} \right) \]

\[ y' = \frac{\log_{10}(2x)}{\sqrt{2x}} + \frac{\sqrt{2x}}{x \ln(10)} \]

\[ y' = \frac{\ln(2x)}{\sqrt{2x} \ln(10)} + \frac{\sqrt{2x}}{x \ln(10)} \]

Для упрощения можно привести к общему знаменателю \( x \ln(10) \):

\[ y' = \frac{\ln(2x) \sqrt{x}}{\sqrt{2} x \ln(10)} + \frac{\sqrt{2x} \sqrt{2x}}{x \ln(10)} \]

\[ y' = \frac{\ln(2x) \sqrt{x} + 2x}{x \sqrt{2} \ln(10)} \]

Примечание: Изображение содержит номер \( 4 \), который, вероятно, является номером задания.

Ответ: Область определения функции: \( x \in (0; +\infty) \). Производная: \( y' = \frac{\log_{10}(2x)}{\sqrt{2x}} + \frac{1}{x \ln(10)} \).