Вариант 4 1. Разложите на множители: a) a(x – 5) – 7(5 – x) б) 24a³b⁴c – 12a²b⁴c² + 6a²b³c³ в) ab + ac + bd + cd – b – c г) x³ + x²z – 2xz² – 2z³ д) 2ac + 6bc – 4ad – 12bd 2. Решите уравнение y(y – 5) – 3y(5 – y)² = 0. 3.* Докажите, что 8⁵ + 2¹¹ делится на 17.

Решение:

1. а) \( a(x - 5) - 7(5 - x) = a(x - 5) + 7(x - 5) = (x - 5)(a + 7) \)
2. б) Вынесем общий множитель \( 6a b^3 c \):
   \( 24a^3 b^4 c - 12a^2 b^4 c^2 + 6a^2 b^3 c^3 = 6a b^3 c (4a^2 b - 2a b c + a c^2) \)
3. в) Сгруппируем слагаемые:
   \( (ab + bd) + (ac + cd) - (b + c) = b(a + d) + c(a + d) - (b + c) = (a + d)(b + c) - (b + c) = (b + c)(a + d - 1) \)
4. г) Сгруппируем слагаемые:
   \( (x^3 + x^2z) - (2xz^2 + 2z^3) = x^2(x + z) - 2z^2(x + z) = (x + z)(x^2 - 2z^2) \)
5. д) Сгруппируем слагаемые:
   \( (2ac - 4ad) + (6bc - 12bd) = 2a(c - 2d) + 6b(c - 2d) = (c - 2d)(2a + 6b) = 2(c - 2d)(a + 3b) \)
6. 2. \( y(y - 5) - 3y(5 - y)^2 = 0 \)
   \( y(y - 5) - 3y(-(y - 5))^2 = 0 \)
   \( y(y - 5) - 3y(y - 5)^2 = 0 \)
   Вынесем общий множитель \( y(y - 5) \):
   \( y(y - 5)(1 - 3(y - 5)) = 0 \)
   \( y(y - 5)(1 - 3y + 15) = 0 \)
   \( y(y - 5)(16 - 3y) = 0 \)
   Решения: \( y = 0 \), \( y = 5 \), \( 16 - 3y = 0 \) → \( 3y = 16 \) → \( y = \frac{16}{3} \).
7. 3. Докажем, что \( 8^5 + 2^{11} \) делится на 17.
   \( 8^5 + 2^{11} = (2^3)^5 + 2^{11} = 2^{15} + 2^{11} = 2^{11}(2^4 + 1) = 2^{11}(16 + 1) = 2^{11}  \).
   Так как \( 2^{11}  \) делится на 17, то и \( 8^5 + 2^{11} \) делится на 17.

Ответ: 1. а) (x - 5)(a + 7); б) 6a b³c (4a²b - 2a b c + a c²); в) (b + c)(a + d - 1); г) (x + z)(x² - 2z²); д) 2(c - 2d)(a + 3b). 2. y = 0, y = 5, y = \(\frac{16}{3}\). 3. Доказано.