Вариант 3 1. Разложите на множители 16x³ + 54y³. 2. Найдите значение выражения m(m + 2)(m – 2) – (m – 3)(m² + 3m + 9) при m = 1/4. 3. Разложите на множители 27a³c – 27a²bc + 9ab²c – b³c. 4. Вычислите \( \frac{71^3 + 49^3}{120} \) – 71 ⋅ 49. 5. Разложите на множители: a) 3x³ – 3y³ + 5x² – 5y² б) m² + n² + 2mn + 2m + 2n + 1 6. Докажите, что разность квадратов двух последовательных натуральных чисел есть число нечетное.

Решение:

1. Разложим на множители, используя формулу суммы кубов \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \):
   \( 16x^3 + 54y^3 = 2(8x^3 + 27y^3) = 2((2x)^3 + (3y)^3) = 2(2x + 3y)((2x)^2 - (2x)(3y) + (3y)^2) = 2(2x + 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2) \)
2. Упростим выражение:
   \( m(m + 2)(m - 2) - (m - 3)(m^2 + 3m + 9) \)
   Используем формулы разности квадратов \( (m+2)(m-2) = m^2 - 4 \) и суммы кубов \( (m-3)(m^2+3m+9) = m^3 - 27 \).
   \( m(m^2 - 4) - (m^3 - 27) = m^3 - 4m - m^3 + 27 = -4m + 27 \)
   Подставим \( m = \frac{1}{4} \):
   \( -4(\frac{1}{4}) + 27 = -1 + 27 = 26 \)
3. Вынесем общий множитель \( c \) и сгруппируем:
   \( 27a^3c - 27a^2bc + 9ab^2c - b^3c = c(27a^3 - 27a^2b + 9ab^2 - b^3) \)
   Воспользуемся формулой куба разности \( (x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 \).
   \( c((3a)^3 - 3(3a)^2b + 3(3a)b^2 - b^3) = c(3a - b)^3 \)
4. Вычислим, используя формулу суммы кубов \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \):
   \( \frac{71^3 + 49^3}{120} - 71  49 = \frac{(71 + 49)(71^2 - 71  49 + 49^2)}{120} - 71  49 \)
   \( \frac{120(71^2 - 71  49 + 49^2)}{120} - 71  49 = 71^2 - 71  49 + 49^2 - 71  49 \)
   \( 71^2 - 2  71  49 + 49^2 \)
   Это квадрат разности \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \):
   \( (71 - 49)^2 = 22^2 = 484 \)
5. а) Сгруппируем:
   \( (3x^3 - 3y^3) + (5x^2 - 5y^2) = 3(x^3 - y^3) + 5(x^2 - y^2) \)
   Используем формулы разности кубов и квадратов:
   \( 3(x - y)(x^2 + xy + y^2) + 5(x - y)(x + y) = (x - y)[3(x^2 + xy + y^2) + 5(x + y)] \)
   \( (x - y)(3x^2 + 3xy + 3y^2 + 5x + 5y) \)
6. б) Перегруппируем слагаемые:
   \( m^2 + n^2 + 2mn + 2m + 2n + 1 = (m^2 + 2mn + n^2) + (2m + 2n) + 1 \)
   \( (m + n)^2 + 2(m + n) + 1 \)
   Это квадрат суммы \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \), где \( a = m + n \) и \( b = 1 \):
   \( ((m + n) + 1)^2 = (m + n + 1)^2 \)
7. 6. Пусть два последовательных натуральных числа — это \( n \) и \( n + 1 \), где \( n \) — натуральное число. Разность их квадратов:
   \( (n + 1)^2 - n^2 = (n^2 + 2n + 1) - n^2 = 2n + 1 \)
   Выражение \( 2n + 1 \) всегда является нечетным числом для любого натурального \( n \).

Ответ: 1. 2(2x + 3y)(4x² - 6xy + 9y²). 2. 26. 3. c(3a - b)³. 4. 484. 5. а) (x - y)(3x² + 3xy + 3y² + 5x + 5y); б) (m + n + 1)². 6. Доказано.