Вариант 2 1. Какие из следующих утверждений верны? 1) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними. 2) Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. 3) Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13. 4) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания. 2. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник. Найдите его площадь. Решить задачи 3-6: 3. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что ∠AOB = 55°. Длина меньшей дуги АВ равна 99. Найдите длину большей дуги. 4. Найдите площадь квадрата, около которого описана окружность радиуса 8. 5. Сторона равностороннего треугольника равна 6√3. Найдите его медиану. 6. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, пересекает стороны АС и ВС в точках К и Е соответственно. Найдите ВЕ, если КЕ= 4, BC = 12, AB = 6.

Задание 1

Проверим каждое утверждение:

1. Неверно. Это теорема косинусов, а не синусов.
2. Верно. Это теорема синусов.
3. Верно. По теореме Пифагора: \( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \), \( \sqrt{169} = 13 \).
4. Верно. Это теорема косинусов.

Ответ: 2, 3, 4

Задание 2

Треугольник на клетчатой бумаге можно разбить на прямоугольник и два прямоугольных треугольника. Основание большого треугольника равно 4 клеткам, высота — 4 клеткам. Площадь большого треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Площадь = \( \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 \) квадратных клеток.

Ответ: 8

Задание 3

Длина дуги окружности пропорциональна центральному углу. Меньшая дуга АВ соответствует углу \( 55^{\circ} \) и имеет длину 99.

Длина меньшей дуги \( L_{меньшей} = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \times 2\pi R \)

\( 99 = \frac{55^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi R \)

Найдем \( 2\pi R \) (длину всей окружности):

\( 2\pi R = 99 \times \frac{360^{\circ}}{55^{\circ}} = 99 \times \frac{72}{11} = 9 \times 72 = 648 \)

Длина большей дуги АВ соответствует углу \( 360^{\circ} - 55^{\circ} = 305^{\circ} \).

Длина большей дуги \( L_{большей} = \frac{305^{\circ}}{360^{\circ}} \times 648 \)

\( L_{большей} = \frac{305}{360} \times 648 = 305 \times \frac{648}{360} = 305 \times 1.8 = 549 \)

Ответ: 549

Задание 4

Площадь квадрата, вписанного в окружность, можно найти, зная радиус окружности. Диагональ квадрата равна диаметру окружности.

Радиус окружности \( R = 8 \).

Диаметр окружности \( d = 2R = 2 \times 8 = 16 \).

Диагональ квадрата \( d_{квадрата} = 16 \).

Площадь квадрата через диагональ вычисляется по формуле: \( S = \frac{d_{квадрата}^2}{2} \).

\( S = \frac{16^2}{2} = \frac{256}{2} = 128 \).

Ответ: 128

Задание 5

В равностороннем треугольнике медиана является также высотой и биссектрисой. Медиана, проведенная к стороне, делит ее пополам.

Сторона равностороннего треугольника \( a = 6\sqrt{3} \).

Найдем медиану \( m \) как высоту \( h \) равностороннего треугольника по формуле: \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).

\( m = \frac{6\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{2} = \frac{6 \times 3}{2} = \frac{18}{2} = 9 \).

Ответ: 9

Задание 6

Прямая KE параллельна стороне AB треугольника ABC. По теореме о подобных треугольниках (или по свойству средней линии, если бы KE была средней линией), треугольник ABC подобен треугольнику KEC.

Отношение длин соответствующих сторон подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

\( \frac{KE}{AB} = \frac{EC}{BC} = \frac{KC}{AC} \)

Нам дано: \( KE = 4 \), \( AB = 6 \), \( BC = 12 \).

Найдем отношение подобия:

\( k = \frac{KE}{AB} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).

Теперь используем отношение сторон \( \frac{EC}{BC} \):

\( \frac{EC}{12} = \frac{2}{3} \)

\( EC = 12 \times \frac{2}{3} = 8 \).

Нам нужно найти длину отрезка BE. Так как \( BC = BE + EC \), то:

\( BE = BC - EC = 12 - 8 = 4 \).

Ответ: 4