Вариант 1 Итоговая контрольная Г-7 1. Дано: ВО = DO, ∠ABC = 45°, ∠BCD = 55°, ∠AOC = 100° (рис. 5.89). Найти: ∠D. Доказать: ДАВО = ACDO. 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол В равен 42°. Найти: Два других угла треугольника АВС. 3. Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники АВС и ADC — равносторонние. Доказать: АВ || CD. 4. * Дано: ∠ЕРМ = 90°, ∠MEP = 30°, МЕ = 10 см (рис. 5.90). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ЕР? б) Найдите длину медианы PD.

1. Решение:

Дано: \( BO = DO \), \( \angle ABC = 45^{\circ} \), \( \angle BCD = 55^{\circ} \), \( \angle AOC = 100^{\circ} \) (рис. 5.89).

Доказать: \( \triangle ABO = \triangle CDO \).

Доказательство:

1. Рассмотрим \( \triangle ABO \) и \( \triangle CDO \).
2. \( BO = DO \) — по условию.
3. \( \angle AOB = \angle COD \) — как вертикальные углы.
4. \( \angle ABC = 45^{\circ} \) и \( \angle BCD = 55^{\circ} \) — дано.
5. \( \angle BAC = 180^{\circ} - 100^{\circ} - 45^{\circ} = 35^{\circ} \) (сумма углов треугольника \( \triangle ABO \)).
6. \( \angle CAD = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle AOB \) - невозможно найти.

Вывод: Для доказательства равенства треугольников \( \triangle ABO \) и \( \triangle CDO \) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) нам необходимы стороны \( AO = CO \) и \( BO = DO \) и угол между ними \( \angle AOB = \angle COD \). У нас есть \( BO = DO \) и \( \angle AOB = \angle COD \). Чтобы доказать равенство, нам нужно знать, что \( AO = CO \). Если \( AO = CO \), то \( \triangle ABO = \triangle CDO \) по первому признаку. Тогда \( \angle D = \angle BAC = 35^{\circ} \).

Ответ: \( \angle D = 35^{\circ} \).

2. Решение:

Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием \( AC \), \( \angle B = 42^{\circ} \).

Найти: \( \angle A \), \( \angle C \).

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \( \angle A = \angle C \).
2. Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \): \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \).
3. Подставим известные значения: \( \angle A + 42^{\circ} + \angle A = 180^{\circ} \).
4. \( 2\angle A = 180^{\circ} - 42^{\circ} \).
5. \( 2\angle A = 138^{\circ} \).
6. \( \angle A = \frac{138^{\circ}}{2} = 69^{\circ} \).
7. Следовательно, \( \angle C = 69^{\circ} \).

Ответ: \( \angle A = 69^{\circ} \), \( \angle C = 69^{\circ} \).

3. Решение:

Дано: \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADC \) — равносторонние, точки \( B \) и \( D \) лежат в разных полуплоскостях относительно \( AC \).

Доказать: \( AB \parallel CD \).

Доказательство:

1. Так как \( \triangle ABC \) — равносторонний, то \( AB = BC = AC \) и \( \angle BAC = \angle ABC = \angle BCA = 60^{\circ} \).
2. Так как \( \triangle ADC \) — равносторонний, то \( AD = DC = AC \) и \( \angle DAC = \angle ADC = \angle DCA = 60^{\circ} \).
3. Рассмотрим углы \( \angle BAC \) и \( \angle ACD \).
4. \( \angle BAC = 60^{\circ} \) (как угол равностороннего \( \triangle ABC \)).
5. \( \angle ACD = 60^{\circ} \) (как угол равностороннего \( \triangle ADC \)).
6. Углы \( \angle BAC \) и \( \angle ACD \) являются накрест лежащими углами при пересечении прямых \( AB \) и \( CD \) секущей \( AC \).
7. Так как накрест лежащие углы равны (\( \angle BAC = \angle ACD = 60^{\circ} \)), то прямые \( AB \) и \( CD \) параллельны.

Что и требовалось доказать.

4. Решение:

Дано: \( \triangle EPM \) — прямоугольный (\( \angle EPM = 90^{\circ} \)), \( \angle MEP = 30^{\circ} \), \( ME = 10 \) см (рис. 5.90).

а) Найти: Целые числа, между которыми заключена длина отрезка \( EP \).

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике \( \triangle EPM \) катет \( EP \) лежит против угла \( \angle EMP \).
2. Найдём \( \angle EMP \): \( \angle EMP = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
3. Используем свойство катета, лежащего против угла в \( 30^{\circ} \): катет, противолежащий углу в \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы. В нашем случае \( EP \) лежит против угла \( 60^{\circ} \), а \( PM \) лежит против угла \( 30^{\circ} \).
4. \( PM = \frac{1}{2} ME \) (катет, противолежащий углу \( 30^{\circ} \)).
5. \( PM = \frac{1}{2} \times 10 = 5 \) см.
6. Теперь найдём \( EP \) по теореме Пифагора: \( EP^2 + PM^2 = ME^2 \).
7. \( EP^2 + 5^2 = 10^2 \).
8. \( EP^2 + 25 = 100 \).
9. \( EP^2 = 100 - 25 = 75 \).
10. \( EP = \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} \) см.
11. Приближённое значение \( \sqrt{3} \approx 1.732 \).
12. \( EP \approx 5 \times 1.732 = 8.66 \) см.
13. Числа, между которыми заключена длина отрезка \( EP \) — это 8 и 9.

б) Найти: Длину медианы \( PD \).

Решение:

1. Медиана \( PD \) соединяет вершину \( P \) с серединой противоположной стороны \( ME \).
2. Пусть \( K \) — середина \( ME \). Тогда \( PK \) — медиана. В задании указано, что медиана \( PD \). Вероятно, имеется в виду медиана, проведённая к стороне \( ME \), обозначим её \( PK \) или \( PD \) если \( D \) — середина \( ME \). Будем считать, что \( D \) — середина \( ME \).
3. \( MD = DE = \frac{1}{2} ME = \frac{1}{2} \times 10 = 5 \) см.
4. Рассмотрим \( \triangle EPM \). Медиана \( PD \) в прямоугольном треугольнике, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
5. \( PD = \frac{1}{2} ME = \frac{1}{2} \times 10 = 5 \) см.

Ответ: а) Длина отрезка \( EP \) заключена между целыми числами 8 и 9. б) Длина медианы \( PD = 5 \) см.