В треугольнике ABC ∠C=60°, ∠B=90°. Высота BB₁ равна 2см. Найти AB.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \) (угол \( B = 90^° \)) известно, что \( \angle C = 60^° \).

Сумма углов треугольника равна \( 180^° \), поэтому \( \angle A = 180^° - 90^° - 60^° = 30^° \).

2. \( BB_1 \) — высота, значит \( \angle BB_1C = 90^° \).

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle BB_1C \).

Угол \( \angle C = 60^° \), \( \angle BB_1C = 90^° \).

Угол \( \angle CBB_1 = 180^° - 90^° - 60^° = 30^° \).

4. В прямоугольном треугольнике \( \triangle BB_1C \) катет \( BB_1 \) лежит напротив угла \( 30^° \). Следовательно, \( BC \) (гипотенуза) в два раза больше катета \( BB_1 \).

\( BC = 2 \cdot BB_1 = 2 \cdot 2 \text{ см} = 4 \text{ см} \).

5. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \).

У нас есть \( \angle A = 30^° \) и \( BC = 4 \text{ см} \).

Катет \( BC \) лежит напротив угла \( 30^° \).

Значит, гипотенуза \( AC \) в два раза больше катета \( BC \).

\( AC = 2 \cdot BC = 2 \cdot 4 \text{ см} = 8 \text{ см} \).

6. По теореме Пифагора в \( \triangle ABC \): \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \).

\( AB^2 + 4^2 = 8^2 \)

\( AB^2 + 16 = 64 \)

\( AB^2 = 64 - 16 \)

\( AB^2 = 48 \)

\( AB = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \text{ см} \).

Ответ: \( 4\sqrt{3} \) см.