В равнобедренном треугольнике с основанием АС угол В равен 120°. Высота треугольника, проведенная из вершины А, равна 5. Найдите длину стороны АС.

Решение:

В равнобедренном треугольнике \( ABC \) с основанием \( AC \) углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA \).

Сумма углов треугольника равна 180°:

\( \angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^{\circ} \)

\( 2 \angle BAC + 120^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 2 \angle BAC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \)

\( \angle BAC = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).

Пусть \( AH \) — высота, проведенная из вершины \( A \) к основанию \( BC \). Но в условии сказано, что высота проведена из вершины А, а основание АС. Значит, высота проведена к стороне ВС. Давайте предположим, что в условии опечатка и высота проведена из вершины В к основанию АС, обозначим ее \( BH \).

В прямоугольном треугольнике \( BHC \) (где \( \angle BHC = 90^{\circ} \)), \( \angle BCH = 30^{\circ} \) (так как \( \angle BCA = 30^{\circ} \)).

\( BH = 5 \) см.

В прямоугольном треугольнике \( BHC \): \( BH = BC \nolimits \times \nolimits
\sin (30^{\circ}) \).

\( 5 = BC \nolimits \times \nolimits
\frac{1}{2} \)

\( BC = 10 \) см.

Так как треугольник равнобедренный, \( AB = BC = 10 \) см.

Теперь найдем основание \( AC \). Используем теорему косинусов для \( \triangle ABC \) или найдем половину основания \( HC \) в \( \triangle BHC \).

\( HC = BC \nolimits \times \nolimits
\cos (30^{\circ}) = 10 \nolimits \times \nolimits
\frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) см.

\( AC = 2 \times HC = 2 \times 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3} \) см.

Если же высота проведена из вершины А к стороне ВС (обозначим ее \( AK \), \( \angle AKC = 90^{\circ} \)), то в \( \triangle AKC \), \( \angle ACK = 30^{\circ} \) (это угол \( C \)).

\( AK = 5 \) см.

\( AC = \frac{AK}{\sin(30^{\circ})} = \frac{5}{1/2} = 10 \) см.

Ответ: 10 см.