В равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны AB = BC = 25, медиана BN = 20. Найдите cos ∠ABC

1. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой. Следовательно, BN ⊥ AC.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABN. По теореме Пифагора найдем AN: AN² = AB² - BN² = 25² - 20² = 625 - 400 = 225.
AN = √225 = 15.
3. Так как BN является биссектрисой угла ABC, то ∠ABN = ∠NBC. В прямоугольном треугольнике BNC, Cos(∠NBC) = BN / BC = 20 / 25 = 4/5.
4. Угол ABC равен 2 * ∠NBC. Используем формулу косинуса двойного угла: Cos(2α) = 2Cos²α - 1.
Cos(∠ABC) = 2 * Cos²(∠NBC) - 1 = 2 * (4/5)² - 1 = 2 * (16/25) - 1 = 32/25 - 1 = 7/25.