380. В окружность вписан правильный восьмиугольник ABCDEFGH. Найдите: a) ∠ABC; б) ∠GBE; в) ∠HFA; г) ∠BEH; д) ∠CDG; e) ∠GFC.

В правильном восьмиугольнике все стороны и все углы равны. Сумма всех углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле $$(n-2) \cdot 180^{\circ}$$, где $$n$$ - количество сторон. В нашем случае, $$n=8$$, поэтому сумма всех углов восьмиугольника равна $$(8-2) \cdot 180^{\circ} = 6 \cdot 180^{\circ} = 1080^{\circ}$$. Каждый угол правильного восьмиугольника равен $$\frac{1080}{8} = 135^{\circ}$$.

a) ∠ABC - это угол правильного восьмиугольника, поэтому ∠ABC = 135°.

б) ∠GBE состоит из угла ∠GBC и угла ∠CBE. Угол ∠GBC равен половине угла восьмиугольника, то есть $$\frac{135^{\circ}}{2} = 67.5^{\circ}$$. Угол ∠CBE равен углу ∠ABC минус угол ∠ABE. Угол ∠ABE равен углу ∠ABC минус угол ∠EBC. $$∠EBC = \frac{3}{8} \cdot 360^{\circ}$$. Четыре стороны делят окружность на 8 частей. Угол ∠ABE = 135 − ∠EBC. Надо найти ∠EBC. ∠GBE = ∠GBC + ∠EBC.

Восьмиугольник ABCDEFGH вписан в окружность. Все вершины лежат на окружности. ∠ABC опирается на дугу ADCDE. ∠ABC - вписанный, значит он равен половине дуги, на которую опирается.

∠ABC = 135°

∠GBE = 45°

в) ∠HFA = 45°

г) ∠BEH = 22,5°

д) ∠CDG = 45°

e) ∠GFC = 45°

Ответ: a) 135°; б) 45°; в) 45°; г) 22,5°; д) 45°; e) 45°