Точка М принадлежит отрезку КЕ, длина которого равна 27 см. Найдите длины отрезков МК и МЕ, если: 1) длина отрезка МК на 7 см меньше длины отрезка МЕ; 2) длина отрезка МК в 2 раза больше длины отрезка МЕ; 3) MK : ME = 2 : 7.

Решение:

Обозначим длину отрезка МК как \( x \) см, а длину отрезка МЕ как \( y \) см. По условию, \( KE = MK + ME = 27 \) см.

1. Длина отрезка МК на 7 см меньше длины отрезка МЕ:
   \( x = y - 7 \)
   Подставим во второе уравнение:
   \( (y - 7) + y = 27 \)
   \( 2y - 7 = 27 \)
   \( 2y = 34 \)
   \( y = 17 \) см (длина МЕ)
   \( x = 17 - 7 = 10 \) см (длина МК)
2. Длина отрезка МК в 2 раза больше длины отрезка МЕ:
   \( x = 2y \)
   Подставим во второе уравнение:
   \( 2y + y = 27 \)
   \( 3y = 27 \)
   \( y = 9 \) см (длина МЕ)
   \( x = 2 \times 9 = 18 \) см (длина МК)
3. Отношение длин отрезков МК и МЕ равно 2:7:
   \( \frac{x}{y} = \frac{2}{7} \) \( \implies 7x = 2y \)
   Из \( x + y = 27 \) выразим \( x = 27 - y \) и подставим:
   \( 7(27 - y) = 2y \)
   \( 189 - 7y = 2y \)
   \( 189 = 9y \)
   \( y = 21 \) см (длина МЕ)
   \( x = 27 - 21 = 6 \) см (длина МК)

Ответ: 1) МК = 10 см, МЕ = 17 см; 2) МК = 18 см, МЕ = 9 см; 3) МК = 6 см, МЕ = 21 см.