Solve the integral: \(\int_{0}^{\pi/2} \cos^2(4x) dx\)

Решение:

Для решения интеграла \( \int_{0}^{\pi/2} \cos^2(4x) dx \) воспользуемся формулой понижения степени: \( \cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} \).

1. Применим формулу к \( \cos^2(4x) \):
   \( \cos^2(4x) = \frac{1 + \cos(2 \cdot 4x)}{2} = \frac{1 + \cos(8x)}{2} \)
2. Подставим полученное выражение в интеграл:
   \( \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 + \cos(8x)}{2} dx \)
3. Вынесем константу \( \frac{1}{2} \) за знак интеграла:
   \( \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} (1 + \cos(8x)) dx \)
4. Разделим интеграл на два:
   \( \frac{1}{2} \left( \int_{0}^{\pi/2} 1 dx + \int_{0}^{\pi/2} \cos(8x) dx \right) \)
5. Вычислим первый интеграл:
   \( \int_{0}^{\pi/2} 1 dx = [x]_{0}^{\pi/2} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2} \)
6. Вычислим второй интеграл. Для этого сделаем замену \( u = 8x \), тогда \( du = 8dx \), или \( dx = \frac{du}{8} \).
   Пределы интегрирования: если \( x = 0 \), то \( u = 0 \); если \( x = \frac{\pi}{2} \), то \( u = 8 \cdot \frac{\pi}{2} = 4\pi \).
   \( \int_{0}^{4\pi} \cos(u) \frac{du}{8} = \frac{1}{8} \int_{0}^{4\pi} \cos(u) du = \frac{1}{8} [\sin(u)]_{0}^{4\pi} = \frac{1}{8} (\sin(4\pi) - \sin(0)) = \frac{1}{8} (0 - 0) = 0 \)
7. Сложим результаты:
   \( \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} \)

Ответ: \( \frac{\pi}{4} \).