Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаSolve the integral: \(\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{2x^2 - x + 2}}\)
Ответ:
Решение:
Для вычисления данного интеграла \( \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{2x^2 - x + 2}} \) воспользуемся методом выделения полного квадрата в знаменателе.
- Выделим полный квадрат в выражении под корнем:
- Теперь интеграл примет вид:
- Сделаем замену переменной. Пусть \( u = x - \frac{1}{4} \), тогда \( du = dx \). Пределы интегрирования изменятся:
- Интеграл становится:
- Воспользуемся формулой арксинуса или логарифма для интеграла вида \( \int \frac{du}{\sqrt{u^2 + a^2}} = \ln|u + \sqrt{u^2 + a^2}| + C \) или \( \int \frac{du}{\sqrt{u^2 + a^2}} = \operatorname{arsinh}\left(\frac{u}{a}\right) + C \). Здесь \( a^2 = \frac{15}{16} \), значит \( a = \frac{\sqrt{15}}{4} \).
- Подставим пределы интегрирования:
\[ 2x^2 - x + 2 = 2 \left( x^2 - \frac{1}{2}x + 1 \right) = 2 \left( x^2 - 2 \cdot \frac{1}{4}x + \left(\frac{1}{4}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 + 1 \right) \]
\[ = 2 \left( \left(x - \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{1}{16} + 1 \right) = 2 \left( \left(x - \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{15}{16} \right) = 2\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{15}{8} \]
\[ \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{2\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{15}{8}}} = \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{2} \sqrt{\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{15}{16}}} \]
При \( x = 0 \), \( u = 0 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4} \).
При \( x = 1 \), \( u = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \).
\[ \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{-\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}} \frac{du}{\sqrt{u^2 + \frac{15}{16}}} \]
\[ \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \ln \left| u + \sqrt{u^2 + \frac{15}{16}} \right| \right]_{-\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}} \]
\[ \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ln \left| \frac{3}{4} + \sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)^2 + \frac{15}{16}} \right| - \ln \left| -\frac{1}{4} + \sqrt{\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \frac{15}{16}} \right| \right) \]
\[ = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ln \left| \frac{3}{4} + \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{15}{16}} \right| - \ln \left| -\frac{1}{4} + \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{15}{16}} \right| \right) \]
\[ = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ln \left| \frac{3}{4} + \sqrt{\frac{24}{16}} \right| - \ln \left| -\frac{1}{4} + \sqrt{\frac{16}{16}} \right| \right) \]
\[ = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ln \left| \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{24}}{4} \right| - \ln \left| -\frac{1}{4} + 1 \right| \right) \]
\[ = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ln \left| \frac{3 + 2\sqrt{6}}{4} \right| - \ln \left| \frac{3}{4} \right| \right) \]
\[ = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln \left( \frac{3 + 2\sqrt{6}}{4} \cdot \frac{4}{3} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln \left( \frac{3 + 2\sqrt{6}}{3} \right) \]
Ответ: \( \frac{1}{\sqrt{2}} \ln \left( \frac{3 + 2\sqrt{6}}{3} \right) \).
