Simplify the expression: \(\frac{24^{1/4}}{3^{1/2} \cdot 8^{1/3}}\)

Решение:

Чтобы упростить выражение, преобразуем числа в основании степеней к простым множителям:

1. Разложим 24: \( 24 = 2^3 \cdot 3 \).
2. Разложим 8: \( 8 = 2^3 \).
3. Подставим разложения в исходное выражение: \[ \frac{(2^3 \cdot 3)^{1/4}}{3^{1/2} \cdot (2^3)^{1/3}} \]
4. Применим свойства степеней \( (a^m \cdot b^n)^p = a^{mp} \cdot b^{np} \) и \( (a^m)^p = a^{mp} \): \[ \frac{2^{3/4} \cdot 3^{1/4}}{3^{1/2} \cdot 2^{3/3}} = \frac{2^{3/4} \cdot 3^{1/4}}{3^{1/2} \cdot 2^1} \]
5. Сгруппируем основания: \[ \frac{2^{3/4}}{2^1} \cdot \frac{3^{1/4}}{3^{1/2}} \]
6. Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \[ 2^{3/4 - 1} \cdot 3^{1/4 - 1/2} = 2^{3/4 - 4/4} \cdot 3^{1/4 - 2/4} = 2^{-1/4} \cdot 3^{-1/4} \]
7. Применим свойство отрицательной степени \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) и свойство степеней с одинаковым показателем \( a^n \cdot b^n = (ab)^n \): \[ \frac{1}{2^{1/4}} \cdot \frac{1}{3^{1/4}} = \frac{1}{2^{1/4} \cdot 3^{1/4}} = \frac{1}{(2 \cdot 3)^{1/4}} = \frac{1}{6^{1/4}} \]
8. Перепишем в виде корня: \[ \frac{1}{\sqrt[4]{6}} \]
9. Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на \( 6^{3/4} \): \[ \frac{1}{6^{1/4}} \cdot \frac{6^{3/4}}{6^{3/4}} = \frac{6^{3/4}}{6^{1/4 + 3/4}} = \frac{6^{3/4}}{6^1} = \frac{\sqrt[4]{6^3}}{6} = \frac{\sqrt[4]{216}}{6} \]

Ответ: \(\frac{1}{\sqrt[4]{6}}\), или \(\frac{\sqrt[4]{216}}{6}\).