С1. Упростите выражение \( \left(\frac{a^3 - 8}{a^2 + 2a + 4}\right)^2 - (a+2)^2 \).

Решение:

Воспользуемся формулой разности кубов: \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \).

Числитель первой дроби \( a^3 - 8 \) можно представить как \( a^3 - 2^3 \).

Знаменатель \( a^2 + 2a + 4 \) совпадает с множителем в формуле разности кубов.

1. Упростим дробь: \( \frac{a^3 - 8}{a^2 + 2a + 4} = \frac{(a-2)(a^2 + 2a + 4)}{a^2 + 2a + 4} = a-2 \).
2. Теперь возведем полученное выражение в квадрат: \( (a-2)^2 \).
3. Раскроем скобки по формуле квадрата разности: \( (a-2)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = a^2 - 4a + 4 \).
4. Теперь выполним вычитание: \( (a^2 - 4a + 4) - (a+2)^2 \).
5. Раскроем скобки \( (a+2)^2 \) по формуле квадрата суммы: \( (a+2)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = a^2 + 4a + 4 \).
6. Выполним вычитание: \( (a^2 - 4a + 4) - (a^2 + 4a + 4) \)
   \( = a^2 - 4a + 4 - a^2 - 4a - 4 \)
7. Приведем подобные слагаемые: \( (a^2 - a^2) + (-4a - 4a) + (4 - 4) \)
   \( = 0 - 8a + 0 \)
   \( = -8a \)

Ответ: -8a