С1. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника пересекает боковую сторону под углом, равным углу при основании. Найдите угол при основании.

Решение:

1. Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Углы при основании ∠BAC = ∠BCA = α.
2. Проведем биссектрису AD угла A. Она пересекает боковую сторону BC в точке D.
3. По условию, ∠CAD = ∠BAD. Так как AD - биссектриса, ∠CAD = ∠BAD = α / 2.
4. По условию, биссектриса AD пересекает боковую сторону BC под углом, равным углу при основании. Это означает, что ∠ADC = ∠BAC = α.
5. Рассмотрим треугольник ABD. Сумма углов в нем: ∠BAD + ∠B + ∠ADB = 180°.
6. α / 2 + ∠B + ∠ADB = 180°.
7. Угол ∠ADB является смежным с углом ∠ADC, поэтому ∠ADB = 180° - ∠ADC = 180° - α.
8. Подставим это в уравнение для треугольника ABD:
9. α / 2 + ∠B + (180° - α) = 180°.
10. α / 2 + ∠B - α = 0.
11. ∠B - α / 2 = 0.
12. ∠B = α / 2.
13. Теперь рассмотрим сумму углов в треугольнике ABC: ∠BAC + ∠BCA + ∠B = 180°.
14. α + α + α / 2 = 180°.
15. 2.5α = 180°.
16. α = 180° / 2.5.
17. α = 72°.
18. Таким образом, угол при основании равен 72°.
19. Проверим: ∠B = 72° / 2 = 36°.
20. ∠BAC = ∠BCA = 72°.
21. ∠BAD = 72° / 2 = 36°.
22. ∠ADC = 180° - 72° = 108°.
23. Условие ∠ADC = ∠BAC было: 108° = 72°, что неверно.
24. Давайте перечитаем условие: "Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника пересекает боковую сторону под углом, равным углу при основании".
25. Пусть углы при основании равны α, угол при вершине β. Тогда 2α + β = 180°.
26. Биссектриса угла при основании (например, угла A) делит его пополам: α/2.
27. Пусть биссектриса AD пересекает BC в точке D.
28. По условию, ∠ADC = α.
29. Тогда ∠ADB = 180° - α.
30. В треугольнике ABD: ∠BAD + ∠B + ∠ADB = 180°.
31. α/2 + β + (180° - α) = 180°.
32. α/2 + β - α = 0.
33. β - α/2 = 0 → β = α/2.
34. Подставим это в основное уравнение: 2α + α/2 = 180°.
35. (5/2)α = 180°.
36. α = 180° * (2/5) = 72°.
37. Угол при основании равен 72°.
38. β = 72° / 2 = 36°.
39. Проверка: 2 * 72° + 36° = 144° + 36° = 180°.
40. ∠ADC = 72°.
41. ∠BAD = 72° / 2 = 36°.
42. В треугольнике ADC: ∠CAD + ∠C + ∠ADC = 180°.
43. ∠CAD + 72° + 72° = 180°.
44. ∠CAD = 180° - 144° = 36°.
45. Но ∠CAD должно быть равно α/2 = 72° / 2 = 36°. Это верно.

Ответ: 72°