По участку цепи, состоящему из резисторов R₁ = 5 кОм и R₂ = 20 кОм (см. рисунок), протекает постоянный ток I. За время t₁ = 1 мин на резисторе R₁ выделяется количество теплоты Q₁ = 3 кДж. За какое время на резисторе R₂ выделится количество теплоты Q₂ = 8 кДж?

Решение:

Закон Джоуля-Ленца гласит, что количество теплоты, выделяемое на резисторе, равно \( Q = I^2 R t \), где \( I \) — сила тока, \( R \) — сопротивление, \( t \) — время.

По условию, резисторы \( R_1 \) и \( R_2 \) соединены последовательно, поэтому ток через них одинаков: \( I_1 = I_2 = I \).

Для резистора \( R_1 \): \( Q_1 = I^2 R_1 t_1 \).

Для резистора \( R_2 \): \( Q_2 = I^2 R_2 t_2 \).

Разделим второе уравнение на первое:

\( \frac{Q_2}{Q_1} = \frac{I^2 R_2 t_2}{I^2 R_1 t_1} = \frac{R_2 t_2}{R_1 t_1} \)

Выразим \( t_2 \):

\( t_2 = t_1 \cdot \frac{Q_2}{Q_1} \cdot \frac{R_1}{R_2} \)

Подставим известные значения:

\( R_1 = 5 \text{ кОм} = 5000 \text{ Ом} \)

\( R_2 = 20 \text{ кОм} = 20000 \text{ Ом} \)

\( t_1 = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с} \)

\( Q_1 = 3 \text{ кДж} = 3000 \text{ Дж} \)

\( Q_2 = 8 \text{ кДж} = 8000 \text{ Дж} \)

\( t_2 = 60 \text{ с} \cdot \frac{8000 \text{ Дж}}{3000 \text{ Дж}} \cdot \frac{5000 \text{ Ом}}{20000 \text{ Ом}} \)

\( t_2 = 60 \text{ с} \cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{4} \)

\( t_2 = 60 \text{ с} \cdot \frac{2}{3} = 40 \text{ с} \)

Переведем обратно в минуты: \( 40 \text{ с} = \frac{40}{60} \text{ мин} = \frac{2}{3} \) мин.

Ответ: 40 с.