Определите неизвестные элементы фигур, изображённых на рисунках.

1.

Круг вписан в квадрат. Радиус круга \( R = 7 \). Сторона квадрата \( a \) равна диаметру круга.

Диаметр круга \( d = 2R = 2 \times 7 = 14 \).

Значит, сторона квадрата \( a = d = 14 \).

Ответ: \( a = 14 \)

2.

Отрезок OA — это гипотенуза прямоугольного треугольника, образованного радиусом, касательной и отрезком от центра до точки касания. Треугольник OBA — прямоугольный, так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Угол \( \angle OAB = 30^{\circ} \). Отрезок OB — это радиус круга \( R \).

В прямоугольном треугольнике OBA:

\( \sin(\angle OAB) = \frac{OB}{OA} \)

\( \sin(30^{\circ}) = \frac{R}{27} \)

\( \frac{1}{2} = \frac{R}{27} \)

\( R = \frac{27}{2} = 13.5 \)

Ответ: \( R = 13.5 \)

3.

AB — касательная к окружности, точка B — точка касания. Отрезок OB — радиус окружности, значит, \( OB \perp AB \).

В треугольнике OAB, \( \angle OBA = 90^{\circ} \).

Длина касательной от точки A до точки касания B равна 15. Однако, в задании указано, что AB = 15, но это отрезок касательной, а не CB.

На рисунке дан отрезок BC = ?, который является касательной. Точка A, B, C образуют треугольник. Непонятно, какая длина дана 15: AB или AC.

Если предположить, что 15 — это длина отрезка AC (от внешней точки до точки касания), и CB — это другая касательная от той же внешней точки C, то AC = CB. Но это не соответствует рисунку.

Если предположить, что 15 — это длина отрезка AB, и CB — это другая касательная от внешней точки C, то AB и CB не связаны напрямую. Центр окружности O.

Если 15 — это длина отрезка AB, и CB — это ещё одна касательная, и если A и C — точки касания, то AB = CB. Но точка B находится на касательной, а не на окружности.

Исходя из типичных задач, если 15 — это длина отрезка касательной от точки A до точки касания, а CB — другая касательная, то AB = CB. Но точка B здесь обозначена не как точка касания, а как вершина треугольника.

Предположим, что 15 — это длина отрезка AC. Если CB — это другая касательная, то CB = AC = 15.

Ответ: \( CB = 15 \)

4.

Круг вписан в квадрат. Сторона квадрата \( a = 21 \). Радиус круга \( R \) равен половине стороны квадрата.

\( R = \frac{a}{2} \)

\( R = \frac{21}{2} = 10.5 \)

Ответ: \( R = 10.5 \)