Найдите значение выражения $$5\sqrt{2} \cos^2\frac{7\pi}{8}-5\sqrt{2} \sin^2\frac{7\pi}{8}$$

Решение:

Вынесем общий множитель \( 5\sqrt{2} \) за скобки:

\( 5\sqrt{2} \left( \cos^2\frac{7\pi}{8} - \sin^2\frac{7\pi}{8} \right) \)

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: \( \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha \).

В нашем случае \( \alpha = \frac{7\pi}{8} \).

Тогда \( \cos^2\frac{7\pi}{8} - \sin^2\frac{7\pi}{8} = \cos\left( 2 × \frac{7\pi}{8} \right) = \cos\left( \frac{7\pi}{4} \right) \).

Угол \( \frac{7\pi}{4} \) находится в четвёртой четверти, где косинус положителен. \( \frac{7\pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4} \).

Значит, \( \cos\left( \frac{7\pi}{4} \right) = \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Теперь подставим это значение обратно в выражение:

\( 5\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 × \frac{(\sqrt{2} × \sqrt{2})}{2} = 5 × \frac{2}{2} = 5 × 1 = 5 \).

Ответ: 5