Из точки Е окружности опущен перпендикуляр ЕК на её диаметр. Найдите радиус окружности, если отрезок KF на 2 см больше отрезка DK, DE = 2√2 см.

Решение:

Пусть \( O \) — центр окружности, \( R \) — радиус окружности.

\( EK \) — перпендикуляр, опущенный из точки \( E \) на диаметр \( DF \). Значит, \( ∠EKO = 90° \).

В прямоугольном треугольнике \( ○ DEK \) по теореме Пифагора:

\[ DK^2 + EK^2 = DE^2 \]\[ DK^2 + EK^2 = (2√2)^2 \]\[ DK^2 + EK^2 = 8 \) (1)

В прямоугольном треугольнике \( ○ EFK \) по теореме Пифагора:

\[ KF^2 + EK^2 = EF^2 \]

Из условия задачи известно, что \( KF = DK + 2 \).

Также \( EF \) — это радиус окружности, если \( F \) — точка на окружности. Однако, в условии задачи \( DE = 2√2 \) см, а \( EK \) — перпендикуляр на диаметр \( DF \). Это означает, что \( D, E, F \) — точки на окружности, а \( DF \) — диаметр.

В прямоугольном треугольнике \( ○ DEF \) (так как угол, опирающийся на диаметр, прямой):

\[ DE^2 + EF^2 = DF^2 \]

\( DF = 2R \), где \( R \) — радиус окружности.

\( (2√2)^2 + EF^2 = (2R)^2 \)\
\( 8 + EF^2 = 4R^2 \) (2)

Из прямоугольного треугольника \( ○ EKF \):

\( EK^2 = EF^2 - KF^2 \)

Из прямоугольного треугольника \( ○ DEK \):

\( EK^2 = DE^2 - DK^2 = 8 - DK^2 \)

Приравниваем выражения для \( EK^2 \):

\( EF^2 - KF^2 = 8 - DK^2 \)

Подставляем \( KF = DK + 2 \):

\( EF^2 - (DK + 2)^2 = 8 - DK^2 \)\
\( EF^2 - (DK^2 + 4DK + 4) = 8 - DK^2 \)\
\( EF^2 - DK^2 - 4DK - 4 = 8 - DK^2 \)\
\( EF^2 - 4DK - 4 = 8 \)\
\( EF^2 = 12 + 4DK \) (3)

Теперь подставим \( EF^2 \) из (3) в (2):

\( 8 + (12 + 4DK) = 4R^2 \)\
\( 20 + 4DK = 4R^2 \)\
\( 5 + DK = R^2 \) (4)

Также \( DK \) и \( KF \) лежат на диаметре \( DF = 2R \).

\( DK + KF = DF \)\
\( DK + (DK + 2) = 2R \)\
\( 2DK + 2 = 2R \)\
\( DK + 1 = R \)\
\( DK = R - 1 \) (5)

Подставим \( DK \) из (5) в (4):

\( 5 + (R - 1) = R^2 \)\
\( R + 4 = R^2 \)\
\( R^2 - R - 4 = 0 \)

Решаем квадратное уравнение для \( R \) с помощью дискриминанта:

\( D = (-1)^2 - 4 · 1 · (-4) = 1 + 16 = 17 \)

\( R = √17 \) или \( R = -√17 \).

Так как радиус не может быть отрицательным, то \( R = √17 \) см.

Ответ: Радиус окружности равен √17 см.