Даны вершины ДАВС: А (2; 3; −1), B (3; 2; 2), C (1; 0; 4). Чему тогда равен cos ∠ A?

Решение:

Для нахождения косинуса угла A в треугольнике ABC, нам нужно использовать векторы, исходящие из вершины A. Это векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \).

1. Найдём координаты вектора \( \vec{AB} \): \( \vec{AB} = B - A = (3-2; 2-3; 2-(-1)) = (1; -1; 3) \)
2. Найдём координаты вектора \( \vec{AC} \): \( \vec{AC} = C - A = (1-2; 0-3; 4-(-1)) = (-1; -3; 5) \)
3. Теперь найдём скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \): \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (1)(-1) + (-1)(-3) + (3)(5) = -1 + 3 + 15 = 17 \)
4. Найдём длины (модули) векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \):
• \( |\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11} \)
• \( |\vec{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35} \)
5. Используем формулу косинуса угла между векторами: \( \cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} \)
6. Подставим найденные значения: \( \cos A = \frac{17}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{35}} = \frac{17}{\sqrt{11 \cdot 35}} = \frac{17}{\sqrt{385}} \)

Ответ: \( \frac{17}{\sqrt{385}} \).