Часть 3. Биссектриса СК параллелограмма АВСД делит сторону АВ на отрезки А = 4см, КВ = 6см. Найти периметр параллелограмма

Решение:

По условию, биссектриса СК делит сторону AB на отрезки AK = 4см и KB = 6см. Следовательно, сторона AB = AK + KB = 4см + 6см = 10см.

Поскольку СК — биссектриса, то ∠BCK = ∠KCD (по определению биссектрисы).

В параллелограмме ABCD стороны BC || AD и AB || CD.

Угол ∠BCK и угол ∠CKD являются накрест лежащими при параллельных BC и AD и секущей СК. Следовательно, ∠BCK = ∠CKD.

Таким образом, ∠CKD = ∠KCD. Это означает, что треугольник CKD — равнобедренный с основанием KD. Значит, CK = KD.

Однако, в условии сказано, что биссектриса СК делит сторону AB. Это означает, что точка K лежит на стороне AB, а биссектриса СК пересекает сторону AB. Если СК — биссектриса угла C, то она не может делить сторону AB. Возможно, имеется в виду биссектриса угла D, но тогда она делит сторону AB. Проверим эту гипотезу.

Предположим, что биссектриса DK делит сторону AB на отрезки AK = 4см и KB = 6см. Тогда AB = 10см. Так как ABCD — параллелограмм, то CD = AB = 10см, и AD = BC.

DK — биссектриса ∠D. Значит, ∠ADK = ∠KDC.

Так как AB || CD, то ∠AKD = ∠KDC (накрест лежащие углы при параллельных AB и CD и секущей DK).

Следовательно, ∠ADK = ∠AKD. Это значит, что треугольник ADK — равнобедренный с основанием AK. Тогда AD = AK = 4см.

Так как AD = 4см, то BC = 4см.

Периметр параллелограмма P = 2(AB + AD) = 2(10см + 4см) = 2(14см) = 28см.

Если же биссектриса СК делит сторону AB, то это означает, что К лежит на AB. Если СК — биссектриса угла C, то она не делит сторону AB. Возможно, в условии опечатка, и СК — это отрезка, проведенный из вершины C.

Давайте предположим, что СК — это биссектриса угла C, и точка K лежит на стороне AB, при этом AK = 4см, KB = 6см. Тогда AB = 10см. В параллелограмме, если биссектриса угла C пересекает противоположную сторону AB, то она делит эту сторону на два отрезка, один из которых равен стороне BC. То есть, если СК — биссектриса угла C, то ∠BCK = ∠KCD. Угол ∠BCK и ∠CKD — накрест лежащие, значит ∠BCK = ∠CKD. Следовательно, ∠CKD = ∠KCD. Треугольник CKD равнобедренный, CK = KD. Но это не помогает найти длину стороны BC.

Рассмотрим другой вариант: СК — это биссектриса угла C, и она пересекает сторону AB в точке K. Тогда ∠BCK = ∠KCD. Из параллельности AB и CD следует, что ∠KCD = ∠AKC (накрест лежащие). Значит, ∠BCK = ∠AKC. Треугольник ABC имеет ∠C. Если СК — биссектриса угла C, то она делит угол C пополам. Если K лежит на AB, то AK + KB = AB. В параллелограмме, если биссектриса угла C пересекает сторону AB, то отрезки, на которые она делит AB, не обязательно равны сторонам. Но есть свойство: если биссектриса угла параллелограмма пересекает противоположную сторону, то она отсекает от этой стороны отрезок, равный прилежащей стороне. Если СК — биссектриса угла C, и K лежит на AB, то ∠BCK = ∠KCD. Так как AB || DC, то ∠AKC = ∠KCD (как накрест лежащие). Значит, ∠AKC = ∠BCK. Следовательно, треугольник BCK равнобедренный, BC = BK = 6см. Тогда AD = BC = 6см. AB = AK + KB = 4см + 6см = 10см. Периметр P = 2(AB + AD) = 2(10см + 6см) = 2(16см) = 32см.

Проверим, может ли биссектриса СК делить сторону AB, если K на AB. Если СК — биссектриса угла C, то ∠BCK = ∠KCD. Так как AB || DC, то ∠AKC = ∠KCD. Значит ∠AKC = ∠BCK. Треугольник BCK равнобедренный, BC = BK. Если BK = 6см, то BC = 6см. AB = 10см. Периметр = 2(10+6) = 32см.

Если AK = 4см, KB = 6см, то AB = 10см. Если биссектриса угла C пересекает сторону AB, то она отсекает отрезок, равный стороне BC. То есть, если K лежит на AB, и СК — биссектриса угла C, то либо BK = BC, либо AK = BC. В условии сказано, что СК делит сторону AB на отрезки AK=4 и KB=6. Вероятнее всего, K находится на стороне AB. И СК — биссектриса угла C. Тогда ∠BCK = ∠KCD. Так как AB || DC, то ∠AKC = ∠KCD (накрест лежащие). Следовательно, ∠BCK = ∠AKC. Треугольник BCK равнобедренный, BC = BK = 6см. Тогда AD = BC = 6см. AB = AK + KB = 4см + 6см = 10см. Периметр = 2(AB + AD) = 2(10см + 6см) = 2(16см) = 32см. Этот вариант выглядит наиболее логичным.

Ответ: 32 см