Часть 2. 17. Один из углов треугольника в три раза меньше другого угла, но на 20° больше третьего угла этого треугольника. Вычислите углы треугольника.

Решение:

Пусть углы треугольника равны \( \alpha \), \( \beta \) и \( \gamma \).

Из условия задачи:

• \( \alpha = 3 \beta \)
• \( \alpha = \gamma + 20° \)

Сумма углов треугольника равна 180°: \( \alpha + \beta + \gamma = 180° \).

Выразим \( \beta \) и \( \gamma \) через \( \alpha \):

• \( \beta = \frac{\alpha}{3} \)
• \( \gamma = \alpha - 20° \)

Подставим в уравнение суммы углов:

\( \alpha + \frac{\alpha}{3} + (\alpha - 20°) = 180° \)

\( \alpha + \frac{\alpha}{3} + \alpha - 20° = 180° \)

\( 2\alpha + \frac{\alpha}{3} = 180° + 20° \)

\( 2\alpha + \frac{\alpha}{3} = 200° \)

Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от дроби:

\( 6\alpha + \alpha = 600° \)

\( 7\alpha = 600° \)

\( \alpha = \frac{600°}{7} \)

Теперь найдем \( \beta \) и \( \gamma \):

\( \beta = \frac{\alpha}{3} = \frac{600°}{7 \times 3} = \frac{600°}{21} = \frac{200°}{7} \)

\( \gamma = \alpha - 20° = \frac{600°}{7} - 20° = \frac{600° - 140°}{7} = \frac{460°}{7} \)

Проверим сумму углов: \( \frac{600}{7} + \frac{200}{7} + \frac{460}{7} = \frac{1260}{7} = 180° \).

Углы треугольника:

• \( \alpha = \frac{600}{7}° \)
• \( \beta = \frac{200}{7}° \)
• \( \gamma = \frac{460}{7}° \)

Ответ: Углы треугольника равны \( \frac{600}{7}°, \frac{200}{7}°, \frac{460}{7}° \).