Билет 3. 1. Дайте определение смежных углов. Сформулируйте свойство смежных углов. 2. Докажите признак равенства треугольников по трем сторонам (любой частный случай). 3. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, равен 70%. Найти остальные три угла. 4. В треугольнике MPF угол М равен 80°, угол Р равен 40°, Биссектриса угла М пересекает сторону FP в точке К. Найти угол FKM,

Решение:

1. Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми (образуют развернутый угол). Свойство смежных углов: Сумма смежных углов равна \( 180^\circ \).
2. Признак равенства треугольников по трем сторонам (третий признак): Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
   Доказательство (частный случай): Рассмотрим два треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle A'B'C' \), у которых \( AB = A'B' \), \( BC = B'C' \), \( AC = A'C' \).
   Построим \( \triangle ABC \) так, чтобы сторона \( AB \) совпадала со стороной \( A'B' \).
   Тогда \( AC = A'C' \) и \( BC = B'C' \).
   Рассмотрим \( \triangle A'B'C' \). Так как \( A'C' = AC \) и \( B'C' = BC \), то \( \triangle ABC \) совпадает с \( \triangle A'B'C' \). Следовательно, \( \triangle ABC = \triangle A'B'C' \).
3. Дано: При пересечении двух прямых образовался угол \( 70^\circ \).
   Найти: Остальные три угла.
   Решение: Пусть дан один угол \( \alpha = 70^\circ \).
   Вертикальный угол к нему равен \( \alpha = 70^\circ \).
   Смежный с ним угол \( \beta = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \).
   Вертикальный угол к \( \beta \) равен \( 110^\circ \).
   Ответ: Углы равны \( 70^\circ, 110^\circ, 110^\circ \).
4. Дано: \( \triangle MPF \), \( \angle M = 80^\circ \), \( \angle P = 40^\circ \), MK — биссектриса \( \angle M \).
   Найти: \( \angle FKM \).
   Решение:
   1. Найдем \( \angle F \): \( \angle F = 180^\circ - (\angle M + \angle P) = 180^\circ - (80^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
   2. Так как MK — биссектриса \( \angle M \), то \( \angle KMP = \frac{1}{2} \angle M = \frac{1}{2} \cdot 80^\circ = 40^\circ \).
   3. В \( \triangle KPF \), \( \angle FKP \) — внешний угол. \( \angle FKP = \angle P + \angle F = 40^\circ + 60^\circ = 100^\circ \).
   Ответ: \( \angle FKM = 100^\circ \).