Билет 1. 1. Объясните, что такое отрезок. Обозначение отрезка. Какая точка называется серединой отрезка? Объясните, как построить середину данного отрезка с помощью циркуля и линейки (без доказательства). 2. Докажите признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. 3. В прямоугольном треугольнике DEF катет DF равен 14см, угол Е равен 30°. Найти гипотенузу DE. 4. На рисунке АВ=ВС. Докажите, что угол 1 равен углу 2.

Решение:

1. Отрезок — это часть прямой, ограниченная с двух сторон двумя точками. Отрезок обозначается двумя буквами, обозначающими его концы, например, AB. Середина отрезка — это точка, которая делит отрезок на два равных отрезка. Чтобы построить середину отрезка с помощью циркуля и линейки: 1. Из точки А провести дугу окружности радиусом, большим половины отрезка AB. 2. Из точки В провести дугу той же длиной радиуса. 3. Соединить точки пересечения дуг прямой. Эта прямая будет перпендикулярна отрезку AB и разделит его пополам. Точка пересечения прямой и отрезка — середина отрезка.
2. Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (первый признак): Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. Дано: \( \triangle DEF \) — прямоугольный, \( \angle E = 90^\circ \), \( DF = 14 \text{ см} \), \( \angle D = 30^\circ \).
   Найти: \( DE \).
   Решение: В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \( 30^\circ \), равен половине гипотенузы. Таким образом, \( EF = \frac{1}{2}DE \). По теореме Пифагора: \( DE^2 = DF^2 + EF^2 \). Подставляем \( EF = \frac{1}{2}DE \): \( DE^2 = 14^2 + (\frac{1}{2}DE)^2 \) \( DE^2 = 196 + \frac{1}{4}DE^2 \) \( DE^2 - \frac{1}{4}DE^2 = 196 \) \( \frac{3}{4}DE^2 = 196 \) \( DE^2 = 196 \cdot \frac{4}{3} \) \( DE = \sqrt{\frac{784}{3}} = \frac{28}{\sqrt{3}} = \frac{28\sqrt{3}}{3} \text{ см}. \)
   Ответ: \( DE = \frac{28\sqrt{3}}{3} \text{ см}.
4. Дано: \( AB = BC \), \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — углы при основании.
   Доказательство: В \( \triangle ABC \), \( AB = BC \), следовательно, \( \triangle ABC \) — равнобедренный. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Значит, \( \angle BAC = \angle BCA \). Угол 1 — это \( \angle BAC \), угол 2 — это \( \angle BCA \). Следовательно, \( \angle 1 = \angle 2 \).