А2. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°, ∠B = 30°, BC = 18 см, СК – высота, проведенная к стороне АВ, КМ – перпендикуляр, проведенный из точки К к стороне ВС. Чему равна длина МВ?

Обоснование:

1. Найдем ∠A в треугольнике ABC: ∠A = 90° - ∠B = 90° - 30° = 60°.

2. В прямоугольном треугольнике BСК, ∠BKC = 90°.

3. В прямоугольном треугольнике ABC: tg(B) = AC/BC. tg(30°) = AC/18. AC = 18 * tg(30°) = 18 * (1/sqrt(3)) = 6 * sqrt(3) см.

4. Найдем AB: sin(B) = AC/AB. sin(30°) = (6 * sqrt(3))/AB. AB = (6 * sqrt(3)) / sin(30°) = (6 * sqrt(3)) / (1/2) = 12 * sqrt(3) см.

5. Найдем высоту СК: В прямоугольном треугольнике ABC, СК = (AC * BC) / AB = (6 * sqrt(3) * 18) / (12 * sqrt(3)) = 108 / 12 = 9 см.

6. Рассмотрим прямоугольный треугольник BKC. ∠BCK = 90° - ∠B = 90° - 30° = 60°.

7. В прямоугольном треугольнике KMC, ∠MKC = 90°.

8. Треугольник KMC подобен треугольнику ABC (по двум углам).

9. Из подобия треугольников KMC и ABC: KM/AC = MC/BC. KM = (AC * MC) / BC.

10. Найдем MC: В треугольнике BKC, cos(B) = BC/BK. cos(30°) = 18/BK. BK = 18 / cos(30°) = 18 / (sqrt(3)/2) = 36/sqrt(3) = 12*sqrt(3) см.

11. Найдем CK: В треугольнике BKC, sin(B) = CK/BK. sin(30°) = CK / (12*sqrt(3)). CK = (12*sqrt(3)) * sin(30°) = (12*sqrt(3)) * (1/2) = 6*sqrt(3) см.

12. В прямоугольном треугольнике KMC: MC = sqrt(KC^2 - KM^2). Это сложный путь.

Проще:

1. В прямоугольном треугольнике ABC: tg(30°) = AC/18 => AC = 18 * (1/sqrt(3)) = 6*sqrt(3).

2. AB = BC / cos(30°) = 18 / (sqrt(3)/2) = 12*sqrt(3).

3. Высота СК = (AC * BC) / AB = (6*sqrt(3) * 18) / (12*sqrt(3)) = 9.

4. В прямоугольном треугольнике BKC: ∠BCK = 60°.

5. Рассмотрим треугольник KMC. Он подобен ABC. ∠CKM = ∠A = 60°, ∠CMK = ∠B = 30°. Неправильно.

Снова:

1. В △ABC: ∠A = 60°, ∠B = 30°. BC = 18.

2. В △BKC (прямоугольный, ∠K = 90°): ∠BCK = 60°.

3. В △KMC (прямоугольный, ∠M = 90°): ∠KCM = ∠BCK - ∠BCM = 60° - 90° = -30°. Это неверно.

КМ ⊥ ВС.

1. В △ABC: ∠A = 60°, ∠B = 30°. BC = 18.

2. В △BKC (прямоугольный, ∠K = 90°): ∠BCK = 60°.

3. В △KMC (прямоугольный, ∠M = 90°). ∠CKM = 90° - ∠KCM.

4. △CKB подобен △CKA подобен △ABC.

5. В △CKB: ∠B = 30°, ∠BCK = 60°.

6. В △KMC: ∠CMK = 90°. KM ⊥ BC.

7. Рассмотрим △BKC. ∠B=30°, ∠BKC=90°. BC=18. CK = BC * sin(30°) = 18 * 0.5 = 9.

8. BK = BC * cos(30°) = 18 * (sqrt(3)/2) = 9*sqrt(3).

9. Теперь рассмотрим △KMC. ∠KCM = 90° - ∠BCM = 90° - 30° = 60°.

10. В △KMC: ∠MKC = 90° - ∠KCM = 90° - 60° = 30°.

11. KM = CK * sin(60°) = 9 * (sqrt(3)/2).

12. MC = CK * cos(60°) = 9 * 0.5 = 4.5.

13. MB = BC - MC = 18 - 4.5 = 13.5 см.

Ответ: 13,5 см