a: AB=102°; <α=51°; <β=51°; AB=100°; <α=50°; <β=100°; AB=92°; <α=35°; ∠B=70°; AB=102°; <α=51°; <β=102°; 2. Лучи АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С, ∠OBC=33°. йдите <ВАС. . Из точки А, взятой вне окружности, проведены касательная АВ (В - точка касания) и секущая AD (С и D - точки пересечения с окружностью, С є AD). Найдите угол ABD, если СВ = 46°, DB= 82°. 4. В окружности с центром О проведена хорда АВ. Точка К принадлежит окружности и лежит с точкой О по разные стороны от хорды. Найдите величину угла /АКВ, если ∠AOB = 164° 5. АВ- общая касательная к двум касающимся окружностям с радиусами 25 см и 49 см, А и В - точки касания. Найдите длину отрезка АВ.

2. Решение:

Так как АВ и АС — касательные к окружности, проведённые из одной точки А, то АО — биссектриса угла ВАС и АВ = АС. Треугольник АВО равнобедренный (ОВ = ОС — радиусы), значит, \( \angle ABO = \angle ACO \). Также \( \angle OBC = \angle OCB = 33° \).

В треугольнике ОВС: \( \angle BOC = 180° - (\angle OBC + \angle OCB) = 180° - (33° + 33°) = 180° - 66° = 114° \).

В треугольнике АВО: \( \angle AOB = 180° - \angle BOC = 180° - 114° = 66° \).

Так как \( \angle OBC = 33° \) и \( \angle ABO = \angle AOC = 90° \) (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной), то \( \angle ABC = \angle ABO + \angle OBC = 90° + 33° = 123° \).

В треугольнике АВО: \( \angle BAO = 180° - 90° - 33° = 57° \).

Так как \( \angle BAC = 2 \cdot \angle BAO \) (АО — биссектриса), то \( \angle BAC = 2 \cdot 57° = 114° \).

Ответ: \( 114° \)

. Решение:

Дано:

Окружность; А — точка вне окружности; АВ — касательная (В — точка касания); AD — секущая (C, D — точки пересечения, \( C \in AD \)); \( \angle CBD = 46° \); \( \angle ADB = 82° \).

Найти: \( \angle ABD \).

Решение:

1. Так как \( \angle ADB = 82° \) — вписанный угол, опирающийся на дугу АВ, то градусная мера дуги АВ равна \( 2 \cdot 82° = 164° \).


2. Так как \( \angle CBD = 46° \) — вписанный угол, опирающийся на дугу CD, то градусная мера дуги CD равна \( 2 \cdot 46° = 92° \).


3. Так как АВ — касательная, то \( \angle ABC \) — угол между касательной и хордой, опирающийся на дугу ВС. Градусная мера дуги ВС равна \( 164° - 92° = 72° \).


4. Угол \( \angle ABD \) равен разности углов \( \angle ABC \) и \( \angle DBC \).


5. Угол \( \angle ABC \) равен половине дуги АС. Дуга АС = дуга АВ + дуга ВС = 164° + 72° = 236°.


6. \( \angle ABC = 236° / 2 = 118° \)


7. \( \angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 118° - 46° = 72° \)

Ответ: \( 72° \)

4. Решение:

Угол \( \angle AKB \) является вписанным углом, опирающимся на дугу АВ. Центральный угол \( \angle AOB \) также опирается на дугу АВ.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

\( \angle AKB = \frac{1}{2} \angle AOB \).

Подставляем значение \( \angle AOB = 164° \):

\( \angle AKB = \frac{1}{2} \cdot 164° = 82° \).

Ответ: \( 82° \)

5. Решение:

Дано:

Две окружности касаются внешним образом. \( r_1 = 25 \) см, \( r_2 = 49 \) см. А и В — точки касания. AB — общая касательная.

Найти: Длину отрезка AB.

Решение:

1. Проведём радиусы \( O_1A \) и \( O_2B \) к точкам касания. \( O_1A \perp AB \) и \( O_2B \perp AB \). \( O_1A = r_1 = 25 \) см, \( O_2B = r_2 = 49 \) см.


2. Расстояние между центрами окружностей \( O_1O_2 = r_1 + r_2 = 25 + 49 = 74 \) см.


3. Проведём через центр \( O_1 \) окружности меньшего радиуса прямую, параллельную касательной AB. Эта прямая пересечёт радиус \( O_2B \) в точке С.


4. Получится прямоугольник \( ABO_1C \) и прямоугольный треугольник \( O_1CO_2 \).


5. \( AC = O_1B \) и \( CO_2 = O_2B - CB = O_2B - O_1A = 49 - 25 = 24 \) см.


6. В прямоугольном треугольнике \( O_1CO_2 \) по теореме Пифагора: \( O_1C^2 + CO_2^2 = O_1O_2^2 \).


7. \( O_1C^2 + 24^2 = 74^2 \)


8. \( O_1C^2 + 576 = 5476 \)


9. \( O_1C^2 = 5476 - 576 = 4900 \)


10. \( O_1C = \sqrt{4900} = 70 \) см.


11. Так как \( ABO_1C \) — прямоугольник, то \( AB = O_1C \).

Ответ: \( 70 \) см.